【题目】已知,在△ABC中,AB=AC.过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角θ,直线a交BC边于点P(点P不与点B、点C重合),△BMN的边MN始终在直线a上(点M在点N的上方),且BM=BN,连接CN.
(1)当∠BAC=∠MBN=90°时,
①如图a,当θ=45°时,∠ANC的度数为△;
②如图b,当θ≠45°时,①中的结论是否发生变化?说明理由;
(2)如图c,当∠BAC=∠MBN≠90°时,请直接写出∠ANC与∠BAC之间的数量关系,不必证明.
【答案】
(1)
解:①45°
②连接CN,当θ≠45°时,①中的结论不发生变化.
理由如下:∵∠BAC=∠MBN=90°,AB=AC,BM=BN,
∴∠ABC=∠ACB=∠BNP=45°,
又∵∠BPN=∠APC,
∴△BNP∽△ACP,
∴ ,
又∵∠APB=∠CPN,
∴△ABP∽△CNP,
∴∠ANC=∠ABC=45°;
(2)
解:∠ANC=90°﹣ ∠BAC.
理由如下:∵∠BAC=∠MBN≠90°,AB=AC,BM=BN,
∴∠ABC=∠ACB=∠BNP= (180°﹣∠BAC),
又∵∠BPN=∠APC,
∴△BNP∽△ACP,
∴ ,
又∵∠APB=∠CPN,
∴△ABP∽△CNP,
∴∠ANC=∠ABC,
在△ABC中,∠ABC= (180°﹣∠BAC)=90°﹣ ∠BAC
【解析】解:(1)①∵∠BAC=90°,θ=45°,
∴AP⊥BC,BP=CP(等腰三角形三线合一),
∴AP=BP(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),
又∵∠MBN=90°,BM=BN,
∴AP=PN(等腰三角形三线合一),
∴AP=PN=BP=PC,且AN⊥BC,
∴四边形ABNC是正方形,
∴∠ANC=45°;
(1)①证明四边形ABNC是正方形,根据正方形的对角线平分一组对角线即可求解;②根据等腰直角三角形的性质可得∠BNP=∠ACB,然后证明△BNP和△ACP相似,根据相似三角形对应边成比例可得 ,再根据两边对应成比例夹角相等可得△ABP和△CNP相似,然后根据相似三角形对应角相等可得∠ANC=∠ABC,从而得解;(2)根据等腰三角形的两底角相等求出∠BNP=∠ACB,然后证明△BNP和△ACP相似,根据相似三角形对应边成比例可得,再根据两边对应成比例夹角相等可得△ABP和△CNP相似,然后根据相似三角形对应角相等可得∠ANC=∠ABC,然后根据三角形的内角和定理列式整理即可得解.
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【题目】如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DE∥AC且DE=OC, 连接 CE、OE,连接AE交OD于点F.(1)求证:OE=CD (2)若菱形ABCD的边长为6,∠ABC=60°,求AE的长.
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【题目】随着我国经济的高速发展,有着“经济晴雨表”之称的股市也得到迅速的发展,下表是今年上证指数某一周星期一至星期五的变化情况. (注:上周五收盘时上证指数为2616点,每一天收盘时指数与前一天相比,涨记为“+”,跌记为“-”)
星 期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 |
指数的变化(与前一天比较) |
⑴ 请求出这一周星期五收盘时的上证指数是多少点?
⑵ 说出这一周每一天收盘时上证指数哪一天最高?哪一天最低?分别是多少点?
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【题目】为了增强学生体质,学校鼓励学生多参加体育锻炼,小华同学马上行动,每天围绕小区进行晨跑锻炼.该小区外围道路近似为如图所示四边形ABCD,已知四边形ABED为正方形,∠DCE=45°,AB=100米.小华某天绕该道路晨跑5圈,求小华该天晨跑的路程是多少?(结果保留整数,)
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【题目】已知:如图,在矩形ABCD中,,分别是边,的中点,,分别是线段,的中点.
(1)求证:≌;
(2)判断四边形是什么特殊四边形,并证明你的结论;
(3)当四边形是正方形时,求的值.
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【题目】如图,四边形ABCD是一个菱形绿地,其周长为40 m,∠ABC=120°,在其内部有一个四边形花坛EFGH,其四个顶点恰好在菱形ABCD各边的中点,现在准备在花坛中种植茉莉花,其单价为10元/m2,请问需投资金多少元?(结果保留整数)
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【题目】如图,直线AB交x轴于点B(4,0),交y轴于点A(0,4),直线DM⊥x轴正半轴于点M,交线段AB于点C,DM=6,连接DA,∠DAC=90°.
(1)直接写出直线AB的解析式;
(2)求点D的坐标;
(3)若点P是线段MB上的动点,过点P作x轴的垂线,交AB于点F,交过O、D、B三点的抛物线于点E,连接CE.是否存在点P,使△BPF与△FCE相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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