【题目】一位同学拿了两块 45°的三角尺△MNK、△ACB 做了一个探究活 动：将△MNK 的直角顶点 M 放在△ABC 的斜边 AB 的中点处，设 AC=BC=a．
（1）如图 1，两个三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为 ，周长为 ；
（2）将图 1 中的△MNK 绕顶点 M 逆时针旋转 45°，得到图 2，此时重叠部分 的面积为 ，周长为 ；
（3）如果将△MNK 绕 M 旋转到不同于图 1，图 2 的位置，如图 3 所示，猜想此 时重叠部分的面积为多少？并试着加以验证．
【答案】(1)4；(2)4；（3）4．
【解析】
试题（1）利用勾股定理列式求出AB，再根据等腰直角三角形的性质可得CM⊥AB，AM=CM=
AB，然后求解即可；
（2）设MN与AC的交点为D，BC与MK的交点为G，根据旋转角是45°求出∠AMD=45°，然后根据同位角相等，两直线平行求出DM∥BC，从而判定DM是△ABC的中位线，然后求出DM=
BC，同理求出MG=AC，判断出四边形DCGM是正方形，再根据正方形的性质求出面积即可；
（3）过点M作ME⊥AC于E，作MF⊥BC于F，可得四边形ECMF是正方形，根据正方形的性质可得ME=MF，再根据同角的余角相等求出∠DME=∠GMF，然后利用“角边角”证明△DME和△GMF全等，根据全等三角形面积相等可得△DME和△GMF的面积相等，然后求出阴影部分的面积等于正方形ECMF的面积，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出ME，然后求解即可．
试题解析：（1）∵AC=BC=4，∴AB=
=
，∵M是AB的中点，∴CM⊥AB，AM=CM=
AB=
，∴阴影部分的面积=AMCM=
；
（2）设MN与AC的交点为D，BC与MK的交点为G，∵旋转角是45°，∴∠AMD=45°，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=45°，∴∠AMD=∠B=45°，∴DM∥BC，∵M是AB的中点，∴DM是△ABC的中位线，∴DM=BC=×4=2，同理可得，MG=AC=×4=2，∴四边形DCGM是正方形，∴阴影部分的面积=22=4；
（3）如图，过点M作ME⊥AC于E，作MF⊥BC于F，∵M是等腰直角△ABC斜边AB的中点，∴四边形ECMF是正方形，∴ME=MF，∵∠DME+∠EMG=∠NMK=90°，∠GMF+∠EMG=∠EMF=90°，∴∠DME=∠GMF，在△DME和△GMF中，
，∴△DME≌△GMF（ASA），∴S△DME=S△GMF，∴阴影部分的面积=正方形ECMF的面积，∵M是AB的中点，∴ME是△ABC的中位线，∴ME=BC=
×4=2，∴正方形ECMF的面积=22=4，∴阴影部分的面积=4．
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浙江之星课时优化作业系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标为（8，0），点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为______.
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【题目】如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为45°、30°，如果此时热气球C处离地面的高度CD为100米，且点A、D、B在同一直线上，求AB两点间的距离(结果保留根号)
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【题目】青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．
（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？
（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．
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【题目】如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若∠BAC=60°，猜测DG与AG间有何数量关系？请说明理由．
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【题目】为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．
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【题目】如图，已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，BC＝32，连接BD，AE⊥BD，垂足为E.
(1)求证：△ABE∽△DBC；
(2)求线段AE的长．
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【题目】为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业贷款．小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其它费用1万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）万件之间的函数关系如图所示．
（1）求该网店每月利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；
（2）小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】2019年第七届世界军人运动会（
）于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，这是中国第一次承办综合性国际军事赛事，也是继北京奥运会后，中国举办的规模最大的国际体育盛会．某射击运动员在一次训练中射击了10次，成绩如图所示：
下列结论中不正确的有（ ）个．①众数是8；②中位数是8；③平均数是8；④方差是1.6．
A.1B.2C.3D.4
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