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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=4BC=8ECD边的中点,点PQBC边上两个动点,且PQ=2,当BP=_____时,四边形APQE的周长最小.

【答案】4

【解析】

由题意可知要使四边形APQE的周长最小,由于AEPQ都是定值,只需AP+EQ的值最小即可.为此,先在BC边上确定点PQ的位置,可在AD上截取线段AF=DE=2,作F点关于BC的对称点G,连接EGBC交于一点即为Q点,过A点作FQ的平行线交BC于一点,即为P点,则此时AP+EQ=EG最小,然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点,那么先证明∠GEH=45°,再由CQ=EC即可求出BP的长度.

解:如图,在AD上截取线段AF=DE=2,作F点关于BC的对称点G,连接EGBC交于一点即为Q点,过A点作FQ的平行线交BC于一点,即为P点,过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点.

GH=DF=6EH=2+4=6,∠H=90°,

∴∠GEH=45°,

∴∠CEQ=45°,

BP=x,则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x

在△CQE中,∵∠QCE=90°,∠CEQ=45°,

CQ=EC

6-x=2

解得x=4

故答案为4

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