Question

【题目】如图1，已知以AE为直径的半圆圆心为O，半径为5，矩形ABCD的顶点B在直径AE上，顶点C 在半圆上，AB=8，点P为半圆上一点（不与A、E两点重合）．

（1）矩形ABCD的边BC的长为多少；

（2）将矩形沿直线AP折叠，点B落在点B′．

①点B′到直线AE的最大距离是多少；

②当点P与点C重合时，如图2所示，AB′交DC于点M．

求证：四边形AOCM是菱形，并通过证明判断CB′与半圆的位置关系；

③当EB′∥BD时，直接写出EB′的长为多少．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）①8；②见解析；（3）满足条件的EB′的长为4+2或4-2．

【解析】

（1）图1中，在Rt△OBC中，求出BC即可；

（2）①图1中，当点B′在直线AD上时，点B'到AE的距离最大，最大距离为8；②首先证明四边形AOCM是平行四边形，由OA=OC即可判定四边形AOCM是菱形．只要证明∠OCB′=90°即可判定CB′与半圆相切；③图3中，当EB′∥BD时，作AF⊥EB′于F．由△AEF∽△DBA，可得==，推出EF=4，AF=2，在Rt△AFB′中，FB′==2，即可推出EB′=4+2．图4中，当EB′∥BD时，作AF⊥EB′于F，同法可求EB′．

（1）如图1中，连接OC，

在Rt△BOC中，∵∠OBC=90°，OC=5，OB=3，

∴BC=；

（2）①如图1中，当点B′在直线AD上时，点B'到AE的距离最大，最大距离为8．

②证明：

由折叠可知：∠OAC=∠MAC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠OCA=∠MAC，

∴OC∥AM，

又∵CM∥OA，

∴四边形AOCM是平行四边形，

又∵OA=OC，

∴□AOCM是菱形；

结论：CB′与半圆相切，

理由：由折叠可知：∠ABˊC=∠ABC=90°，

∵OC∥AM，

∴∠ABˊC+∠BˊCO=180°，

∴∠BˊCO=90°，

∴CBˊ⊥OC，

∴CBˊ与半圆相切；

③如图3中，当EB′∥BD时，作AF⊥EB′于F，

由△AEF∽△DBA，

∴，

∴EF=4，AF=2，

在Rt△AFB′中，FB′=，

∴EB′=4+2，

如图4中，当EB′∥BD时，作AF⊥EB′于F，

同法可得EF=4，FB′=2，

∴EB′=4-2．

综上所述，满足条件的EB′的长为4+2或4-2．