Question

【题目】若二次函数和的图象关于原点成中心对称，我们就称其中一个函数是另一个函数的中心对称函数，也称函数和互为中心对称函数．

求函数的中心对称函数；

如图，在平面直角坐标系xOy中，E，F两点的坐标分别为，，二次函数的图象经过点E和原点O，顶点为已知函数和互为中心对称函数；

请在图中作出二次函数的顶点作图工具不限，并画出函数的大致图象；

当四边形EPFQ是矩形时，请求出a的值；

已知二次函数和互为中心对称函数，且的图象经过的顶点当时，求代数式的最大值．

Answer 1

【答案】；画图见解析；a的值为；当时，有最大值，最大值为3．

【解析】

利用配方法得到，则此抛物线的顶点坐标为，利用中心对称的性质得点关于原点对称的点的坐标为，然后利用顶点式写出函数的中心对称函数解析式；

作P点关于原点的对称点得到q点，然后大致画出顶点为Q，经过原点和F点的抛物线；

利用矩形的性质得，则利用抛物线的对称性得到，则可判定为等边三角形，作于H，如图，易得，，所以，设交点式，然后把P点坐标代入即可得到a的值；

把化为顶点式得到抛物线的顶点坐标为，利用关于原点对称的点的坐标特征得到抛物线的顶点坐标为，再把代入得，所以，然后利用二次函数的性质解决问题．

，

此抛物线的顶点坐标为，

点关于原点对称的点的坐标为，

函数的中心对称函数为，即；

如图，

四边形EPFG为矩形，

，

而，

为等边三角形，

作于H，如图，

则，，

，

设二次函数的解析式为，

把代入得，解得，

即a的值为；

，

抛物线的顶点坐标为，

抛物线的顶点与抛物线的顶点关于原点对称，

抛物线的顶点坐标为，

把代入得，解得，

，

当时，有最大值，最大值为3．