【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,且BC=6,AB=3,AD是∠BAC的平分线,与BC相交于点E,点G是BC上一点,E为线段BG的中点,DG⊥BC于点G,交AC于点F,则FG的长为_____.
【答案】
【解析】
先根据∠ABC=90°,DG⊥BC得出DF//AB,再根据E为线段BG的中点,得出ABEDGE,证出DG=AB=3,再根据AD是∠BAC的平分线,DF//AB,得出DF=AF,再根据CFGCAB,得出=即可求出FG。
∵∠ABC=90°,DG⊥BC,∴∠ABC=∠DGE,
∴DF//AB, ∴∠D=∠DAB
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠FAD=∠D, ∴AF=DF,
∵E为线段BG的中点,
∴GE=BE,
在ABE和DGE中,
∴ABEDGE, ∴DG=AB=3,
设FG=x,则AF=DF=3+x
在△ABC中,∠ABC=90°,且BC=6,AB=3,
根据勾股定理可得:AC=3, 则FC=3-3-x
∵DF//AB, ∴CFGCAB,
∴= ∴=
∴x=
∴FG=
故答案为:
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【题目】在矩形ABCD中,∠B的角平分线BE与AD交于点E,∠BED的角平分线EF与DC交于点F,若AB=9,DF=2FC,则BC=____.(结果保留根号)
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【题目】如图,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,AB⊥BC,且点C在x轴上,若抛物线y=ax2+bx+c以C为顶点,且经过点B,求这条抛物线对应的函数表达式.
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【题目】如图所示,正方形ABCD的边长为3a,两动点E,F分别从顶点B,C同时开始以相同速度沿边BC,CD运动,与△BCF相应的△EGH在运动过程中始终保持△EGH≌△BCF,B,E,C,G在一条直线上.
(1)若BE=a,求DH的长.
(2)当E点在BC边上的什么位置时,△DHE的面积取得最小值?并求该三角形面积的最小值.
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【题目】某宾馆有50个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天180元时,房间会全部住满.当每个房间 每天的房价每增加10元时,就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定,每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价增加x元(x为10的正整数倍).
(1)设一天订住的房间数为y,直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;
(2)设宾馆一天的利润为w元,求w与x的函数关系式;
(3)一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大?最大利润是多少元?
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【题目】如图,P是边长为1的正方形ABCD的对角线AC上一动点(不与A、C两点重合),连接BP,过点P作PE⊥PB交直线CD于点E,连接BE,MN//BC分别交AB、DC于点M、N.设.
(1)当点E在CD边上时,线段PE于线段PB有怎样的数量关系?试证明你的结论.
(2)设以点B,C,P,E为顶点的四边形的面积为y,试确定y与x之间的函数关系式,并求出自变量x的取值范围.
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【题目】如图,点I是△ABC的内心,AI的延长线交边BC于点D,交△ABC的外接圆于点E.
(1)求证:IE=BE;
(2)若IE=4,AE=8,求DE的长.
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【题目】如图所示,小敏、小亮从A,B两地观测空中C处一个气球,分别测得仰角为30°和60°,A,B两地相距100 m.当气球沿与BA平行地方向飘移10 s后到达C′处时,在A处测得气球的仰角为45°.
(1)求气球的高度(保留根式);
(2)求气球飘移的平均速度(保留根式).
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【题目】在四边形ABCD中,点E为AB边上的一点,点F为对角线BD上的一点,且EF⊥AB.
(1)若四边形ABCD为正方形.
①如图①,请直接写出AE与DF的数量关系______________;
②将△EBF绕点B逆时针旋转到图②所示的位置,连接AE,DF,猜想AE与DF的数量关系并说明理由;
(2)如图③,若四边形ABCD为矩形,BC=mAB,其他条件都不变,将△EBF绕点B逆时针旋转α(0°<α<90°)得到△E′BF′,连接AE′,DF′,请在图③中画出草图,并求出AE′与DF′的数量关系.
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