Question

7．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，过点D作DE⊥BC，△BDE边DE上的中线BF延长线交AC于点G．
（1）证明：△ACD∽△DBE；
（2）证明：G为AC中点；
（3）求证：AD•BD=CE•CB；
（4）若AG=FG，求BF：GF；
（5）在（4）的条件下，若BC=6$\sqrt{2}$，求BD的长度．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质得出∠A=∠BDE，再由∠ADC=∠DEB即可得出结论；
（2）根据DE∥AC可知△BDF∽△BAG△BEF∽△BCG，故$\frac{DF}{AG}$=$\frac{BD}{AB}$，$\frac{EF}{CG}$=$\frac{BD}{AB}$，根据DF=EF即可得出结论；
（3）直接根据射影定理即可得出结论；
（4）过G作GP⊥DF交DF于P，连结DG可得出，四边形CEPG是长方形，在Rt△ADC中根据G是边AC中点可得出AG=DG=CG．再由AG=FG得出△GFD是等腰三角形．由相似三角形的判定定理得出△PFG∽△EFB∽△CGB，故CG：BG=EF：BF=PF：GF=1：3，FG：BG=1：3，BF：GF=2：1，由此可得出结论；
（5））根据BC=6$\sqrt{2}$，CE：BE=GF：BF=1：2可得出CE，BE的长，再设EF=x，则BF=3x，由勾股定理求出x的值，进而可得出结论．

解答 （1）证明：∵∠C=90°，DE⊥BC，
∴DE∥AC，
∴∠A=∠BDE．
∵∠ADC=∠DEB=90°，
∴△ACD∽△DBE；

（2）证明：∵DE∥AC，
∴△BDF∽△BAG△BEF∽△BCG
∴$\frac{DF}{AG}$=$\frac{BD}{AB}$，$\frac{EF}{CG}$=$\frac{BD}{AB}$．
∵DF=EF，
∴AG=CG；

（3）证明：∵CD⊥AB，
∴△BCD是直角三角形．
∵DE⊥BC，
∴CD²=CE•CB．
∵△ABC是直角三角形，CD⊥AB，
∴CD²=AD•BD，
∴AD•BD=CE•CB；

（4）解：过G作GP⊥DF交DF于P，连结DG，
∵AC⊥BC，DE⊥BC，GF⊥DE，
∴四边形CEPG是长方形，
∴CG=EP
在Rt△ADC中，
∵G是边AC中点，
∴AG=DG=CG．
又∵AG=FG，
∴DG=FG
∴△GFD是等腰三角形．
∴GP是FD的中线，DP=FP 即FP=$\frac{1}{2}$DF=$\frac{1}{2}$EF．
∵CG=EP，FP=$\frac{1}{2}$EF，
∴PF：CG=1：3，
∴PF：FG=1：3．
∵△PFG∽△EFB∽△CGB，
∴CG：BG=EF：BF=PF：GF=1：3，
∴FG：BG=1：3，BF：GF=2：1；

（5）解：∵BC=6$\sqrt{2}$，CE：BE=GF：BF=1：2，
∴CE=2$\sqrt{2}$，BE=4$\sqrt{2}$．
∵EF：BF=1：3，
设EF=x，则BF=3x，
∴x²+（4$\sqrt{2}$）²=9x²，解得x=2，
∴BF=6，GF=3，AC=6，
∴AB=$\sqrt{{AC}^{2}+{BC}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{（6\sqrt{2}）}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
∴BD=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、勾股定理及等腰三角形的判定与性质等知识，难度较大．