Question

16．在矩形ABCD中，AB=4，AD=7，P是边BC上的任意一点（P与B、C不重合），作PE⊥AP，交CD边所在于点E．
（1）判断△ABP与△PCE是否相似，并说明理由；
（2）在点P运动过程中，点E是否总在线段CD上？写出结论并说明理由；
（3）若在BC边上存在点P，使得△PEC沿PE翻折后，点C的对应点F恰好落在边AD上，求tan∠APB的值．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得到∠ABP=∠PCE=90°，根据余角的性质得到∠BAP=∠EPC，于是得到结论；
（2）设BP=x，根据相似三角形的性质得到比例式，代入数据求得EC=$\frac{BP•PC}{AB}$=$\frac{x（7-x）}{4}$=-$\frac{1}{4}$（x-$\frac{7}{2}$）²+$\frac{49}{16}$，然后根据二次函数的最大值即可做出判断；
（3）过点P作PH⊥AD于H，设BP=x，则PC=PF=7-x，CE=EF=$\frac{x（7-x）}{4}$，DE=4-$\frac{x（7-x）}{4}$，PH=4，根据相似三角形的性质得到$\frac{DF}{EF}=\frac{PH}{PF}$，代入数据求得DF=x，HF=7-2x，然后根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）△ABP∽△PCE，
理由：∵∠ABP=∠PCE=90°，
∴∠BAP+∠APB=90°，
∵∠APE=90°，
∴∠APB+∠EPC=90°，
∴∠BAP=∠EPC，
∴△ABP∽△PCE；

（2）点E总在线段CD上，
理由：设BP=x，
∵△ABP∽△PCE，
∴EC=$\frac{BP•PC}{AB}$=$\frac{x（7-x）}{4}$=-$\frac{1}{4}$（x-$\frac{7}{2}$）²+$\frac{49}{16}$，
∴当x=$\frac{7}{2}$时，EC取得最大值$\frac{49}{16}$，
∵$\frac{49}{16}＜$4，
∴点E总在线段CD上；

（3）过点P作PH⊥AD于H，
设BP=x，则PC=PF=7-x，CE=EF=$\frac{x（7-x）}{4}$，DE=4-$\frac{x（7-x）}{4}$，PH=4，
∵△PHF∽△FDE，
∴$\frac{DF}{EF}=\frac{PH}{PF}$，
即$\frac{DF}{\frac{x（7-x）}{4}}$=$\frac{4}{7-x}$，
∴DF=x，HF=7-2x，
在R_t△PHF中，PH²+HF²=PF²，
即4²+（7-2x）²=（7-x）²，
解得：x₁=2，x₂=$\frac{8}{3}$，
∴tan∠APB=$\frac{AB}{BP}$=2或tan∠APB=$\frac{AB}{BP}$=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，二次函数的最大值，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．