Question

9．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，∠A=60°，AD=4，CD=6，动点P从点A出发，沿AB方向以2单位长度/秒的速度向终点B运动，连接PC，PD，设点P运动的时间为t秒．
（1）求AB的长；
（2）是否存在t的值，使△PAD与△PCD相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过D作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，得到四边形EFCD是矩形，求得EF=CD=6，根据直角三角形的性质得到AE=BF=$\frac{1}{2}$AD=2，于是得到结论；
（2）若△PAD与△PCD相似，则$\frac{AP}{BC}=\frac{AD}{PB}$，或$\frac{AP}{PB}=\frac{AD}{BC}$，列方程求得t的值．

解答 解：（1）过D作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，
则四边形EFCD是矩形，
∴EF=CD6，
∵AD=BC，∠A=60°，
∴∠B=∠A=60°，
∴∠ADE=∠BCF=30°，
∴AE=BF=$\frac{1}{2}$AD=2，
∴AB=AE+EF+BF=10；

（2）若△PAD与△PCD相似，
则$\frac{AP}{BC}=\frac{AD}{PB}$，或$\frac{AP}{PB}=\frac{AD}{BC}$，
即$\frac{AP}{4}=\frac{4}{10-AP}$，或$\frac{AP}{10-AP}=\frac{4}{4}$，
解得：AP=2，或AP=8，或AP=5．
∵点P的速度为2单位长度/秒，
∴t=2，4，$\frac{5}{2}$，
∴t的值为2s，4s，$\frac{5}{2}$s时，△PAD与△PCD相似．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，梯形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．