Question

4．已知，如图所示四边形ABDC，DB⊥AB，CD⊥AC，AB=AC，∠EAF=∠BDC=60°，AE，AF分别交BC于点M，N，下列结论：
（1）FC+BE=EF；（2）△ABM∽△ADF；（3）若BM=2，则DF=4；（4）若连接EN，则EN⊥FA．
其中正确的结论有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 （1）延长DB到H使BH=CF，连接AH，通过△AHB≌△ACF，得到AH=AF，∠HAB=∠CAF，证得△HAE≌△AEF，得到HE=EH，于是得到EF=BE+BH=BE+CF；
（2）根据全等三角形的性质得到AB=AC，于是得到AD垂直平分BC，根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠CAD=60°，∠BDA=∠CDA=30°，于是得到△ABM∽△ADF；
（3）根据直角三角形的性质得到AB=$\frac{1}{2}$AD，由相似三角形的性质得到$\frac{BM}{DF}=\frac{AB}{AD}$=$\frac{1}{2}$，于是得到DF=4；
（4）同理△ADE∽△ANC，根据相似三角形的性质得到$\frac{AN}{AE}=\frac{AC}{AD}=\frac{1}{2}$，证得△AEN∽△ABD，根据相似三角形的性质得到∠ANE=∠ABD=90°，于是得到EN⊥FA．

解答 解：（1）延长DB到H使BH=CF，连接AH，
∵DB⊥AB，CD⊥AC，
∴∠ABH=∠ABE=∠ACD=90°，
在△AHB与△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ACF=∠ABH=90°}\\{BH=CF}\end{array}\right.$，
∴△AHB≌△ACF，
∴AH=AF，∠HAB=∠CAF，
∵∠EAF=∠BDC=60°，
∴∠BAC=120°，
∴∠BAE+∠CAF=∠BAE+∠HAB=60°，
在△HAE与△AEF中，$\left\{\begin{array}{l}{AH=AF}\\{∠HAE=∠EAF}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△HAE≌△AEF，
∴HE=EH，
∴EF=BE+BH=BE+CF；故（1）正确；
（2）在R_t△ADB与R_t△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴R_t△ADB≌R_t△ACD，
∴AB=AC，
∴AD垂直平分BC，
∴∠BAD=∠CAD=60°，∠BDA=∠CDA=30°，
∴∠ABM=∠ACN=30°，
∴∠ABM=∠ADF，∠BAM=60°-∠EAD=∠DAF，
∴△ABM∽△ADF，故（2）正确；
（3）∵∠ABD=90°，∠ADB=30°，
∴AB=$\frac{1}{2}$AD，
∵△ABM∽△ADF，
∴$\frac{BM}{DF}=\frac{AB}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∵BM=2，
∴DF=4，故（3）正确；
（4）同理△ADE∽△ANC，
∴$\frac{AN}{AE}=\frac{AC}{AD}=\frac{1}{2}$，
∵∠BAD=∠EAN=60°，
∴△AEN∽△ABD，
∴∠ANE=∠ABD=90°，
∴EN⊥FA，故（4）正确，
故选D．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．