Question

【题目】如图，B是的半径OA上的一点（不与端点重合），过点B作OA的垂线交于点C，D，连接OD，E是上一点，，过点C作的切线l，连接OE并延长交直线l于点F.

（1）①依题意补全图形.

②求证：∠OFC=∠ODC.

（2）连接FB，若B是OA的中点，的半径是4，求FB的长.

Answer 1

【答案】（1）①补图见解析；②证明见解析；（2）FB=.

【解析】

（1）①根据题意，补全图形即可；

②由CD⊥OA可得∠ODC+∠AOD=90°，根据垂径定理可得，利用等量代换可得，根据圆周角定理可得∠EOC=∠AOD，由切线性质可得OC⊥FC，可得∠OFC+∠FOC=90°，即可证明∠OFC=∠ODC；

（2）连接BF，作BG⊥l于G，根据OB=OA，可得∠OCB=30°，利用勾股定理可求出BC的长，根据垂径定理可得CD的长，由（1）可知∠OFC=∠ODC，可得FC=CD，由BG⊥l，OC⊥l可得OC//BG，根据平行线的性质可得∠CBG=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可求出CG的长，利用勾股定理可求出BG的长，即可求出FG的长，利用勾股定理求出FB的长即可.

（1）①延长OE，交直线l于F，如图即为所求，

②∵OA⊥CD，OA为⊙O半径，

∴，

∵，

∴，

∴∠EOC=∠AOD，

∵FC是⊙O的切线，

∴OC⊥FC，

∴∠OFC+∠FOC=90°，

∴∠OFC=∠ODC.

（2）连接BF，作BG⊥l于G，

∵B是OA的中点，⊙O半径为4，

∴OB=OA=OC=2，

∵OA⊥CD，

∴∠OCD=30°，BC===，

∴CD=2BC=，

由（1）可知∠OFC=∠ODC，

∴FC=CD=，

∵BG⊥l，OC⊥l，

∴OC//BG，

∴∠CBG=∠OCD=30°，

∴CG=BC=，BG==3，

∴FG=FC+CG=，

∴BF==.