Question

【题目】如图所示，已知直线y＝kx+m与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当x＝﹣时，y取最大值．

（1）求抛物线和直线的解析式；

（2）设点P是直线AC上一点，且S△ABP：S△BPC＝1：3，求点P的坐标；

（3）若直线y＝x+a与（1）中所求的抛物线交于M、N两点，问：

①是否存在a的值，使得∠MON＝90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；

②猜想当∠MON＞90°时，a的取值范围（不写过程，直接写结论）．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+6，y＝2x+6；（2）点P（﹣ ， ）或P（﹣，﹣3）；（3）①a＝﹣3或a＝，②﹣3＜a＜

【解析】

（1）先根据直线的解析式求出A、C的坐标，然后将A、C的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式，进而可根据抛物线的解析式求出B点的坐标．

（2）根据等高三角形的面积比等于底边比，因此两三角形的面积比实际是AP：PC＝1：3，即3AP＝PC，可先求出AC的长，然后分情况讨论：

①当P在线段AC上时，AP+PC＝AC，3AP＝PC，据此可求出AP的长，然后根据∠CAB的三角函数值或通过构建相似三角形可求出P点的坐标．

②当P在CA的延长线上时，CP﹣AP＝AC，3AP＝PC，据此可求出AP的长，后面同①．

（3）①设直线y＝ x+a与抛物线y＝﹣x2﹣x+6的交点为M（xM，yM），N（xN，yN）（M在N左侧），由Rt△MM′O∽Rt△ON′N，推出 ，即MM′NN′＝ON′OM′，推出﹣xMxN＝yMyN，由方程组消去y整理，得：x2+ x+a﹣6＝0，再利用根与系数关系，列出方程即可解决问题．

②利用①的结果即可判断．

解：（1）当x＝0时，y＝6，

∴C（0，6），

当y＝0时，x＝﹣3，

∴A（﹣3，0），

∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、C，

∴，

解得：．

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+6，

当y＝0时，整理得x2+x﹣6＝0，

解得：x1＝2，x2＝﹣3，

∴点B（2，0）．

（2）过点B作BD⊥AC，D为垂足，

∵S△ABP：S△BPC＝1：3，

∴＝ ，

∴AP：PC＝1：3

由勾股定理，得AC＝＝3 ，

当点P为线段AC上一点时，过点P作PH⊥x轴，点H为垂足，

∵PH∥OC，

∴ ＝ ，

∴PH＝ ，

∴ ＝2x+6，

∴x＝﹣ ，

∴点P（﹣ ， ）

当点P在CA延长线时，作PG⊥x轴，点G为垂足

∵AP：PC＝1：3

∴AP：AC＝1：2，

∴＝，

∴PG＝3，

∴﹣3＝2x+6

x＝﹣，

∴点P（﹣，﹣3）．

（3）①存在a的值，使得∠MON＝90°，

设直线y＝x+a与抛物线y＝﹣x2﹣x+6的交点为M（xM，yM），N（xN，yN）（M在N左侧）

则 为方程组 的解

分别过点M、N作MM’⊥x轴，NN′⊥x轴，点M、N为垂足．

∴M′（xM，0），N′（xN，0），

∴OM′＝﹣xMON′＝xN

∵∠MON＝90°，

∴∠MOM′+∠NON′＝90°，

∵∠M′MO+∠MOM′＝90°，

∴∠M’MO＝∠NON’

∴Rt△MM′O∽Rt△ON′N，

∴，

∴MM′NN′＝ON′OM′，

∴﹣xMxN＝yMyN，

由方程组消去y整理，得：x2+x+a﹣6＝0．

∴xM、xN是方程x2+x+a﹣6＝0的两个根，

由根与系数关系得，xM+xN＝﹣，xMxN＝a﹣6

又∵yMyN＝（ xM+a）（ xN+a）＝xMxN+（xM+xN）+a2＝（a﹣6）﹣a+a2

∴﹣（a﹣6）＝（a﹣6）﹣a+a2，

整理，得2a2+a﹣15＝0

解得a1＝﹣3，a2＝，

∴存在a值，使得∠MON＝90°，其值为a＝﹣3或a＝．

②由①可知，当∠MON＞90°时，a的取值范围为﹣3＜a＜．