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【题目】如图,已知抛物线Lyax2+bx+ca≠0)与x轴交于AB两点.与y轴交于C点.且A(﹣10),OBOC3OA

1)求抛物线L的函数表达式;

2)在抛物线L的对称轴上是否存在一点M,使ACM周长最小?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

3)连接ACBC,在抛物线L上是否存在一点N,使SABC2SOCN?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1yx22x3;(2)抛物线对称轴上存在点M1,﹣2)符合题意;(3)符合条件的点N的坐标是(2,﹣3)或(﹣25).

【解析】

1)运用待定系数法确定函数解析式即可;

2)点B是点A关于抛物线对称轴的对称点,在抛物线的对称轴上有一点M,要使MA+MC的值最小,则点M就是BC与抛物线对称轴的交点,利用待定系数法求出直线BC的解析式,把抛物线对称轴r=1代入即可求解;

3)设Nxx22x3),根据三角形的面积公式解答即可.

1)由A(﹣10),OBOC3OA,得

OBOC3

B30),C0,﹣3),

ABC的坐标代入函数解析式,得

解得

抛物线的解析式为yx22x3

2AB关于对称轴对称,

MBC与对称轴的交点时,MA+MC的值最小.

设直线BC的解析式为ykx+tk≠0),

解得:

直线AC的解析式为yx3

抛物线的对称轴为直线x1

x1时,y=﹣2

抛物线对称轴上存在点M1,﹣2)符合题意;

3)设Nxx22x3),

A(﹣10),B30),

AB4OC3

SABCABOC×4×36

SABC2SOCN

∴2×OC|x|6,即|x|2

解得x2x=﹣2

x2时,x22x3=﹣3.此时N2,﹣3).

x=﹣2时,x22x35.此时N(﹣25).

综上所述,符合条件的点N的坐标是(2,﹣3)或(﹣25).

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