Question

9．如图，等边△ABC中，D在BC边上，E为AD上一点，若CD=2BD，∠BEC=120°，BE=1，则CE的长度为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 将△BCE绕点C顺时针旋转60°，作DF∥CE，可得DF∥CE∥AE′，证得△BDF∽BCE，可得EF的长，由△DFE∽△AE′E，利用相似三角形的性质可得结果．

解答 解：将△BCE绕点C顺时针旋转60°，作DF∥CE，
∵将△BCE绕点C顺时针旋转60°得到△ACE′，
∴BE=AE′，∠AE′C=120°，CE=CE′，
∵DF∥CE，∠BEC=120°，
∴∠CEE′=60°，
∴△CEE′为等边三角形，
∴∠CE′E=60°，EE′=CE，
∴∠AE′B=60°，
∴CE∥AE′，∵DF∥CE，
∴DF∥AE′，
∴△BDF∽BCE，
∴$\frac{BF}{BE}$=$\frac{DF}{CE}=\frac{BD}{BC}=\frac{1}{3}$，
∵BE=1，
∴BF=$\frac{1}{3}$，EF=$\frac{2}{3}$，
设CE=x，
∴DF=$\frac{x}{3}$，
∵△DFE∽△AE′E，
∴$\frac{EF}{EE′}=\frac{DF}{AE′}$=$\frac{\frac{x}{3}}{1}$=$\frac{x}{3}$，
∴$\frac{\frac{2}{3}}{x}=\frac{x}{3}$，
解得：x=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，相似三角形的性质及判定，将△BCE绕点C顺时针旋转60°，作DF∥CE，得等边三角形和相似三角形是解答此题的关键．