Question

11．如图，一次函数y=-$\frac{1}{2}$x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=-x²+bx+c过A、B两点．

（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，四边形OANB的面积有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，设点P为直线x=t上的一个动点，求使△APB为直角三角形的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由一次函数可求得A、B坐标，代入可求得抛物线解析式；
（2）用t可分别表示出M、N的坐标，则可表示出MN的长度，由于△OAB不变，故当△ABN面积最大时，四边形OANB的面积最大，用t可表示出△ABN的面积，利用二次函数的性质可求得答案；
（3）由（2）可求得t的值，可设出P点坐标，从而表示出PA、PB和AB的长，再分∠PAB=90°、∠PBA=90°和∠APB=90°三种情况利用勾股定理分别得到方程，可求得P点坐标．

解答 解：
（1）在y=-$\frac{1}{2}$x+2中，令x=0可得y=2，令y=0可求得x=4，
∴A（0，2），B（4，0），
∵抛物线y=-x²+bx+c过A、B两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{-16+4b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{7}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²+$\frac{7}{2}$x+2；
（2）由题意可知N（t，-t²+$\frac{7}{2}$t+2），M（t，-$\frac{1}{2}$t+2），
∵M、N在第一象限，
∴MN=-t²+$\frac{7}{2}$t+2-（-$\frac{1}{2}$t+2）=-t²+4t=-（t-2）²+4，
∵-1＜0，
∴当t=2时，MN有最大值，最大值为4，
∵A（0，2），B（4，0），
∴S_{四边形OANB}=S_△OAB+S_△NAB=$\frac{1}{2}$OA•OB+$\frac{1}{2}$MN（4-0）=$\frac{1}{2}$×2×4+2[-（t-2）²+4]=-2（t-2）²+12，
∴当t=2时，四边形OANB的面积最大，最大值为12；
（3）由（2）可知t=2，
∴可设P（2，m），
∴PA²=（2-0）²+（m-2）²=m²-4m+8，PB²=（2-4）²+（m-0）²=m²+4，AB²=2²+4²=20，
∵△PAB为直角三角形，
∴有∠PAB=90°、∠PBA=90°和∠APB=90°三种情况，
①当∠PAB=90°时，则有PA²+AB²=PB²，
∴m²-4m+8+20=m²+4，解得m=6，
∴P（2，6）；
②当∠PBA=90°时，则有PB²+AB²=PA²，
∴m²+4+20=m²-4m+8，解得m=-4，
∴P（2，-4）；
③当∠APB=90°时，则有PA²+PB²=AB²，
∴m²-4m+8+m²+4=20，解得m=1+$\sqrt{5}$或m=1-$\sqrt{5}$，
∴P（2，1+$\sqrt{5}$） 或P（2，1-$\sqrt{5}$），
综上可知P点坐标为（2，6）或（2，-4）或（2，1+$\sqrt{5}$）或（2，1-$\sqrt{5}$）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、三角形的面积、勾股定理、方程思想及分类讨论．在（1）中求得A、B两点的坐标即可，在（2）中用t表示出MN的长度是解题的关键，在（3）用P点坐标分别表示出PA、PB的长是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．