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如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(7,0),点B的坐标为(3,4),

(1)求经过O、A、B三点的抛物线解析式;
(2)将线段AB绕A点顺时针旋转75°至AC,直接写出点C的坐标.
(3)在y轴上找一点P,第一象限找一点Q,使得以O、B、Q、P为顶点的四边形是菱形,求出点Q的坐标;
(4)△OAB的边OB上有一动点M,过M作MN//OA交AB于N,将△BMN沿MN翻折得△DMN,设MN=x,△DMN与△OAB重叠部分的面积为y,求出y与x之间的函数关系式,并求出重叠部分面积的最大值.
(1);(2)C;(3)(3,9)和();
(4)函数关系式为,当时,y最大且最大值为

试题分析:(1)由点O(0,0)、A(7,0)、B(3,4)运用待定系数法求解即可;
(2)根据旋转的性质C结合图象特征求解即可;
(3)过B作BE⊥OA于E,则BE=4,OE=3.如图Ⅰ,分①若OB、OP为菱形一组邻边时,②若BO、BP为一组邻边时,③若OP、BP为一组邻边时,根据菱形的性质及勾股定理求解即可;
(4)依题得△OBA面积为28,当MN=时,点D刚好在OA上,分①当0<x≤时,②当<x<5时,根据相似三角形的性质及二次函数的性质求解即可.
(1)运用待定系数法,由点O(0,0)、A(7,0)、B(3,4)求得所以抛物线为
(2)C
(3)过B作BE⊥OA于E,则BE=4,OE=3.

如图Ⅰ,①若OB、OP为菱形一组邻边时,当P1在y轴正半轴时,BQ1∥y轴且BQ1=OB=5,则Q1为(3,9);若P在y轴负半轴时,同理求得Q点为(3,-1),但不在第一象限,不予考虑;②若BO、BP为一组邻边时,相应的点Q在第二象限,不予考虑;③若OP、BP为一组邻边时,则BQ2∥y轴,Q2在BE上,设BQ2=m,则OQ2=m,EQ2=4-m,由Rt△OCQ2列方程,解得,求得Q2为();综上所述满足条件的Q点有(3,9)和();
(4)依题得△OBA面积为28,当MN=时,点D刚好在OA上,所以分两种情况考虑:
①当0<x≤时,△DMN≌△BMN,△BMN∽△BOA,而,计算得
时,y最大且最大值为
②当<x<5时,连结BD交MN于F、交OA于G,DM交OA于H,DN交OA于I,

由△BMN∽△BOA求得DF=BF=,FG=4-,DG=DF-FG=
再由△DHI∽△DMN得,计算得HI=

配方得;当时,y最大且最大值为
综上所述,函数关系式为,当时,y最大且最大值为
点评:此类问题综合性强,难度较大,在中考中比较常见,一般作为压轴题,题目比较典型.
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