Question

4．如图，P是等腰△ABC的底边BC上的一点，过P作AB，AC的平行线交AC，AB于点Q，R，证明：PQ+PR为定值．
再考虑以下问题：
（1）若点P在△ABC的内部，可以得到类似的结论吗？若不行，能否对P点再加上某种条件，使类似结论成立？
（2）若点P在BC延长线上，能否发现什么新结论？
（3）若点P是△ABC的BC边上一点，过点P作AB，AC的平行线交AC，AB于点Q，R，试说明若PQ+PR等于AB或AC，则△ABC是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）根据AB∥PQ，AC∥PR，得到四边形ARPQ为平行四边形，所以PQ=AR，PR=AQ，得到PQ+PR=AR+PR=AB=AC．
（2）证明同（1）类似；
（3）根据平行四边形的判定定理，先证明四边形ARPQ为平行四边形，由平行四边形的性质得到PQ=AR=CQ，PR=AQ，得到∠C=∠QPC，又PQ平行于AB，得到∠B=∠C，所以△ABC为等腰三角形．

解答 解：（1）∵AB∥PQ，AC∥PR，
∴四边形ARPQ为平行四边形，
∴PQ=AR，PR=AQ，
∴PQ+PR=AR+PR=AB=AC．
（2）如图：

∵AB∥PQ，AC∥PR，
∴四边形ARPQ为平行四边形，
∴PQ=AR，PR=AQ，
∵PQ∥AB，
∴∠B=∠CPQ，
∵∠B=∠ACB，∠ACB=∠PCQ，
∴∠CPQ=∠PCQ，
∴PQ=CQ，
∴PR-PQ=AQ-PQ=AQ-CQ=AC，
即PR-PQ=AB；
（3）∵过点P作AB、AC平行于PQ，PR，PQ+PR=AB（AC），
∴四边形ARPQ为平行四边形，PQ=AR=CQ，PR=AQ，
∴∠C=∠QPC，
又∵PQ平行于AB，
∴∠B=∠C，
∴△ABC为等腰三角形．

点评 本题考查了平行四边形的性质与判定、等腰三角形的性质，解决本题的关键是熟记平行四边形的性质与判定．