【题目】如图,在等腰△ABC中,AB=BC,以AB为直径的半圆分别交AC、BC于点D、E两点,BF与⊙O相切于点B,交AC的延长线于点F.
(1)求证:D是AC的中点;
(2)若AB=12,sin∠CAE=,求CF的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)CF=.
【解析】
(1)连接BD,由圆周角定理知DB⊥AC,根据等腰三角形三线合一的性质即可证得D是AC的中点.
(2)根据切线的性质得到∠ABF=90°,根据同弧所对的圆周角相等,得到∠CAE=∠CBD,又∠CBD=∠ABD,∠ABD=∠F,则sin∠CAE=sin∠F=sin∠ABD,则
即可求出的长度,即可求解.
(1)证明:连接DB,
∴AB是⊙O直径,
∴∠ADB=90°,
∴DB⊥AC.
又∵AB=BC.
∴D是AC的中点.
(2)解:∵BF与⊙O相切于点B,
∴∠ABF=90°,
∵∠CAE=∠CBD,
∴∠CBD=∠ABD,∠ABD=∠F,
∴sin∠CAE=sin∠F=sin∠ABD,
∴在△ADB和△ABF中,
∵AB=12,
∴
∴CF=AF﹣AC=-=.
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【题目】在平面直角坐标系中,点A(4,0),B为第一象限内一点,且OB⊥AB,OB=2.
(1)如图①,求点B的坐标;
(2)如图②,将△OAB沿x轴向右平移得到△O′A′B′,设OO′=m,其中0<m<4,连接BO′,AB与O′B′交于点C.
①试用含m的式子表示△BCO′的面积S,并求出S的最大值;
②当△BCO′为等腰三角形时,求点C的坐标(直接写出结果即可).
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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)是由抛物线y=﹣x2+x+2先作关于y轴的轴对称图形,再将所得到的图象向下平移3个单位长度得到的,点Q1(﹣2.25,q1),Q2(1.5,q2)都在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上,则q1,q2的大小关系是( )
A. q1>q2 B. q1<q2 C. q1=q2 D. 无法确定
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦BC=OB,点D是上一动点,点E是CD中点,连接BD分别交OC,OE于点F,G.
(1)求∠DGE的度数;
(2)若=,求的值;
(3)记△CFB,△DGO的面积分别为S1,S2,若=k,求的值.(用含k的式子表示)
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【题目】已知直线与轴交于点,且过抛物线的顶点和抛物线上的另一点.
(1)若点
①求抛物线解析式;
②若,求直线解析式.
(2)若,过点作轴的平行线与抛物线的对称轴交于点,当时,求的面积的最大值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx﹣3(a≠0)与x轴交于点A(﹣1,0)和点B,且OB=3OA,与y轴交于点C,此抛物线顶点为点D.
(1)求抛物线的表达式及点D的坐标;
(2)如果点E是y轴上的一点(点E与点C不重合),当BE⊥DE时,求点E的坐标;
(3)如果点F是抛物线上的一点.且∠FBD=135°,求点F的坐标.
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【题目】如图,已知矩形中,,动点从点出发,沿方向以每秒1个单位的速度运动,连接,作点关于直线的对称点,设点的运动时间为.
(1)若,仅在边运动,求当,,三点在同一直线上时对应的的值.
(2)在动点在射线上运动的过程中,求使点到直线的距离等于3时对应的的值.
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【题目】某企业为了解饮料自动售卖机的销售情况,对甲、乙两个城市的饮料自动售卖机进行抽样调查,从两个城市中所有的饮料自动售卖机中分别抽取16台,记录下某一天各自的销售情况(单位:元)如下:
甲:25、45、38、22、10、28、61、18、38、45、78、45、58、32、16、78
乙:48、52、21、25、33、12、42、39、41、42、33、44、33、18、68、72
整理、描述数据:对销售金额进行分组,各组的频数如下:
销传金额 | ||||
甲 | 3 | 6 | 4 | 3 |
乙 | 2 | 6 | a | b |
分析数据:两组样本数据的平均数、中位数如下表所示:
城市 | 中位数 | 平均数 | 众数 |
甲 | C | 39.8 | 45 |
乙 | 40 | 38.9 | d |
请根据以上信息,回答下列问题:
(1)填空:a=, b=, c=, d=.
(2)两个城市目前共有饮料自动售卖机4000台,估计日销售金额不低于40元的数量约为多少台?
(3)根据以上数据,你认为甲、乙哪个城市的饮料自动售卖机销售情况较好?请说明理由(一条理由即可).
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【题目】已知抛物线 y x2 mx 2m 4(m>0).
(1)证明:该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点;
(2)设该抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A,B(点 A 在点 B 的右侧),与 y 轴交于点 C,A,B,三点都在圆 P 上.
①若已知 B(-3,0),抛物线上存在一点 M 使△ABM 的面积为 15,求点 M 的坐标;
②试判断:不论 m 取任何正数,圆 P 是否经过 y 轴上某个定点?若是,求出该定点的坐标,若不是,说明理由.
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