Question

20．已知二次函数y=mx²+2mx+m-4，m＜0且m为常数．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴都没有交点．
（2）把该函数的图象沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？

Answer 1

分析 （1）求出△=16m＜0，即可得出结论；
（2）把抛物线解析式化成顶点式，求出抛物线的顶点坐标，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵m＜0，
∴△=（2m）²-4×m×（m-4）=16m＜0，
∴m＜0，不论m为何值，该函数的图象与x轴都没有交点．
（2）解：∵y=mx²+2mx+m-4=m（x+1）²-4，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，-4），
∴把该函数的图象沿y轴向上平移4个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点坐标、抛物线平移以及判别式的运用；熟练掌握抛物线与x轴的交点的证明方法，求出抛物线的顶点坐标是解决问题（2）的关键．