Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点．有下列结论：①∠AMD＝90°；②M为BC的中点；③AB+CD＝AD；④S△ADM＝S梯形ABCD；⑤M到AD的距离等于BC的一半．其中正确的结论有____

Answer 1

【答案】①②③⑤．

【解析】

作MN⊥AD于N，如图，根据角平分线的性质得MB=MN，MN=MC，则根据“HL”可证明Rt△MCD≌Rt△MND，Rt△MBA≌Rt△MNA，则∠1=∠2，∠3=∠4，再利用平角的定义可得∠AMD=90°，则可对①进行判断；同时利用MB=MN=MC可对②⑤进行判断；根据全等三角形的性质，利用Rt△MCD≌Rt△MND，Rt△MBA≌Rt△MNA得到CD=ND，AB=AN，则可对③进行判断；根据全等三角形性质得S△MCD=S△MND，S△MBA=S△MNA，所以S△ADM=S梯形ABCD，则可对④进行判断．

过点M作MN⊥AD交AD于N，如图，

∵AM和DM分别为∠DAB与∠ADC的平分线，

且MN⊥AD，MC⊥CD，MB⊥AB，

∴MB＝MN，MN＝MC，∴MB＝MN＝MC，

∴MB＝MC，所以②⑤正确；

在Rt△MCD和Rt△MND中

，

∴Rt△MCD≌Rt△MND，

∴∠1＝∠2，

同理可得Rt△MBA≌Rt△MNA，

∴∠3＝∠4，

∴∠2+∠4＝∠CMN+∠BMN＝90°，

即∠AMD＝90°，所以①正确；

∵Rt△MCD≌Rt△MND，Rt△MBA≌Rt△MNA，

∴CD＝ND，AB＝AN，

∴AD＝AN+ND＝AB+CD，所以③正确；

∵Rt△MCD≌Rt△MND，Rt△MBA≌Rt△MNA，

∴S△MCD＝S△MND，S△MBA＝S△MNA，

∴S△ADM＝S梯形ABCD，所以④错误．

故答案为①②③⑤．