Question

3．[x]表示不超过x的最大整数，如[-2.1]=-3，[π]=3，[0]=0，求函数y=|$\frac{1}{x}$-[$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2}$]|的最大值，并求此时的x值．

Answer 1

分析 首先设[$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2}$]=n，得出$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2}$=n+a（0≤a＜1）m，进而得出当a=0时，y_最大=$\frac{1}{2}$，求出x的值即可．

解答 解：设[$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2}$]=n，
则$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2}$=n+a（0≤a＜1），
则y=|n+a-$\frac{1}{2}$-n|=|a-$\frac{1}{2}$|，
当a=0时，y_最大=$\frac{1}{2}$，
则x=$\frac{2}{2n-1}$（n为整数），
故此时$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2}$是整数，
则x=2．

点评 此题主要考查了取整计算，正确利用已知结合绝对值的性质得出是解题关键．