Question

15．如图，正方形ABCD中，E、F分别是边CD、DA上的点，且CE=DF，AE与BF交于点M．求证：AE⊥BF．

Answer 1

分析 首先证明△ABF≌△DAE（SAS），即可推出∠AFB=∠DEA，由∠D=90°，推出∠DEA+∠DAE=90°，推出∠AFB+∠DAE=90°，推出∠AMF=180°-90°=90°．

解答 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ADE=90°，AD=AB=DC，
∵DF=CE，
∴AF=DE，
∵在△ABF和△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAF=∠D}\\{AF=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE（SAS）；
∴∠AFB=∠DEA，
∵∠D=90°，
∴∠DEA+∠DAE=90°，
∴∠AFB+∠DAE=90°，
∴∠AMF=180°-90°=90°，
∴AE⊥BF．

点评 本题考查了三角形的内角和定理，垂直定义，正方形性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．