Question

如图，在□ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF=3FD．图中有几对相似三角形？把它们表示出来，并说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定,正方形的性质

专题：常规题型

分析：设正方形的边长为4a，则AE=DE=2a，DF=a，CF=3a，理由勾股定理计算出BF=5a，BE=2

5

a，EF=

5

a，理由勾股定理的逆定理可证明△BEF为直角三角形，∠BEF=90°，再计算

AE

DF

=

2a

a

=2，

AB

DE

=

4a

2a

=2，则

AE

DF

=

AB

DE

，根据相似三角形的判定即可得到Rt△ABE∽Rt△DEF，同理得Rt△ABE∽Rt△EBF，Rt△EBF∽Rt△DEF．

解答：解：有三对相似三角形，Rt△ABE∽Rt△DEF，Rt△ABE∽Rt△EBF，Rt△EBF∽Rt△DEF．理由如下：
设正方形的边长为4a，则AE=DE=2a，DF=a，CF=3a，
在Rt△BCF中，BF=

BC2+CF2

=5a，
在Rt△ABE中，BE=

AB2+AE2

=2

5

a，
在Rt△DEF中，EF=

DF2+DE2

=

5

a，
∵BE²+EF²=BF²，
∴△BEF为直角三角形，∠BEF=90°，
∵

AE

DF

=

2a

a

=2，

AB

DE

=

4a

2a

=2，
∴

AE

DF

=

AB

DE

，
∴Rt△ABE∽Rt△DEF，
同理得

AB

BE

=

AE

EF

，
∴Rt△ABE∽Rt△EBF，
∴Rt△EBF∽Rt△DEF．

点评：本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了勾股定理的逆定理．