Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点P₀的坐标为（1，0），将线段OP₀按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP₀的2倍，得到线段OP₁，又将线段OP₁按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP₁的2倍，得到线段OP₂，如此下去，得到线段OP₃，OP₄…，OP_n（为正整数）
（1）求点P₃的坐标；
（2）我们规定：把点P_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，3…）的横坐标x_n、纵坐标y_n都取绝对值后得到的新坐标（|x_n|，|y_n|）称之为点P_n的“绝对坐标”，根据图中P_n的分布规律，求出点P_n的“绝对坐标”．

Answer 1

分析：（1）首先求得OP₃的长，再进一步根据等腰直角三角形的性质进行求解；
（2）根据绝对值都是非负数，则此题只需分为三种情况考虑：x轴上、y轴上和象限的角平分线上．根据等腰直角三角形的性质进行分析即可．

解答：解：（1）根据题意，得OP₃=2OP₂=4OP₁=8OP₀=8，
根据等腰直角三角形的性质，得P₃（-4

2

，4

2

）；

（2）由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的角平分线上或x轴或y轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，各点的“绝对坐标”可分三种情况：
①当P_n的n=0，4，8，12…，则点在x轴上，则（2ⁿ，0）
②当P_n的n=2，6，10，14…，则点在y轴上，则点（0，2ⁿ）
③当P_n的n=1，3，5，7，9…，则点在各象限的分角线上，则点（2^n-1

2

，2^n-1

2

）．

点评：此题综合运用了旋转的性质和等腰直角三角形的性质．