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【题目】在平面直角坐标系中,O是坐标原点,矩形OABC的位置如图所示,点A,C的坐标分别为(10,0),(0,8).点P是y轴正半轴上的一个动点,将OAP沿AP翻折得到O′AP,直线BC与直线O′P交于点E,与直线OA'交于点F.

(1)当点P在y轴正半轴,且OAP=30°时,求点O′的坐标;

(2)当O′落在直线BC上时,求直线O′A的解析式;

(3)当点P在矩形OABC边OC的运动过程中,是否存在某一时刻,使得线段CF与线段OP的长度相等?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)点O′的坐标为(5,5).(2)直线O′A的解析式为y=x﹣(3)当点P在矩形OABC边OC的运动过程中,存在某一时刻,使得线段CF与线段OP的长度相等,点P的坐标为(0,)或(0,).

【解析】

试题分析:(1)连接O′O,作O′GOA于点G,根据AO=AO′,O′AO=2OPA=60°,即可得出O′AO是等边三角形,再结合点A的坐标即可得出点O′的坐标;

(2)设直线O′A的解析式为y=kx+b,根据勾股定理可得出BO′的长度,再根据O′在线段BC上和O′在CB延长线上分两种情况考虑,由此即可得出点O′的坐标,结合点AO′的坐标利用待定系数法即可得出直线O′A的解析式;

(3)假设存在,设点P(0,m),根据点O′在直线BC的上下两侧来分类讨论.根据平行线的性质找出相等的角从而得出两三角形相似,再根据相似三角形的性质(或等角的三角函数值相等)找出边与边之间的关系,由此即可列出关于m的方程,解方程即可得出结论.

解:(1)连接O′O,作O′GOA于点G,如图1所示.

O′AO=2OPA=60°,AO=AO′,

∴△O′AO是等边三角形,

点A的坐标为(10,0),

OA=10,OG=OA=5,O′G=OA=5

点O′的坐标为(5,5).

(2)设直线O′A的解析式为y=kx+b.

在RtABO′中,AO′=10,AB=8,

BO′6,

①当O′在线段BC上时,CO′=10﹣6=4,

点O′的坐标为(4,8),

则有,解得:

此时直线O′A的解析式为y=﹣x+

②当O′在CB延长线上时,CO′=10+6=16,

点O′的坐标为(16,8),

则有,解得:

此时直线O′A的解析式为y=x﹣

(3)假设存在,由点O′的位置不同分两种情况:

①当点O′在BC的上方时,设点P(0,m),过点O′作O′GOA于点G,过点P作PQO′G于点Q,如图2所示.

OP=CF,

BF=BC﹣CF=10﹣m,

点C(0,8),

AB=OC=8.

在RtABF中,AB=8,BF=10﹣m,

AF==

O′Gx轴,ABOA,

O′GAB,

∴△O′GA∽△ABF,

O′G=,AG=

O′Q=O′G﹣OP=﹣m,PQ=OA﹣AG=10﹣

∵∠PO′Q+O′PQ=90°,PO′Q+AO′G=90°,

∴∠O′PQ=AO′G=FAB,

PQ==10﹣

解得:m1=,m2=10,

经检验m1=是分式方程的解,

此时点P的坐标为(0,);

②当点O′在BC的下方时,设AF与y轴的交点为M,如图3所示.

设点P(0,m),则CF=OP=m,

BF=10+m,AB=8,OA=10,AF==

BCAO,

∴∠AFB=MAO,

OM=

PM=OM﹣OP=﹣m,

∵∠MPO′与AMO互余,

∴∠MPO′=AFB,

,即

解得:m3=,m4=﹣10(舍去),

经检验m3=是分式方程的解,

此时点P的坐标为(0,).

综上可知:当点P在矩形OABC边OC的运动过程中,存在某一时刻,使得线段CF与线段OP的长度相等,点P的坐标为(0,)或(0,).

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