【题目】在平面直角坐标系中,O是坐标原点,矩形OABC的位置如图所示,点A,C的坐标分别为(10,0),(0,8).点P是y轴正半轴上的一个动点,将△OAP沿AP翻折得到△O′AP,直线BC与直线O′P交于点E,与直线OA'交于点F.
(1)当点P在y轴正半轴,且∠OAP=30°时,求点O′的坐标;
(2)当O′落在直线BC上时,求直线O′A的解析式;
(3)当点P在矩形OABC边OC的运动过程中,是否存在某一时刻,使得线段CF与线段OP的长度相等?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)点O′的坐标为(5,5).(2)直线O′A的解析式为y=x﹣.(3)当点P在矩形OABC边OC的运动过程中,存在某一时刻,使得线段CF与线段OP的长度相等,点P的坐标为(0,)或(0,).
【解析】
试题分析:(1)连接O′O,作O′G⊥OA于点G,根据AO=AO′,∠O′AO=2∠OPA=60°,即可得出△O′AO是等边三角形,再结合点A的坐标即可得出点O′的坐标;
(2)设直线O′A的解析式为y=kx+b,根据勾股定理可得出BO′的长度,再根据O′在线段BC上和O′在CB延长线上分两种情况考虑,由此即可得出点O′的坐标,结合点AO′的坐标利用待定系数法即可得出直线O′A的解析式;
(3)假设存在,设点P(0,m),根据点O′在直线BC的上下两侧来分类讨论.根据平行线的性质找出相等的角从而得出两三角形相似,再根据相似三角形的性质(或等角的三角函数值相等)找出边与边之间的关系,由此即可列出关于m的方程,解方程即可得出结论.
解:(1)连接O′O,作O′G⊥OA于点G,如图1所示.
∠O′AO=2∠OPA=60°,AO=AO′,
∴△O′AO是等边三角形,
∵点A的坐标为(10,0),
∴OA=10,OG=OA=5,O′G=OA=5,
∴点O′的坐标为(5,5).
(2)设直线O′A的解析式为y=kx+b.
在Rt△ABO′中,AO′=10,AB=8,
∴BO′═6,
①当O′在线段BC上时,CO′=10﹣6=4,
∴点O′的坐标为(4,8),
则有,解得:,
∴此时直线O′A的解析式为y=﹣x+;
②当O′在CB延长线上时,CO′=10+6=16,
∴点O′的坐标为(16,8),
则有,解得:
∴此时直线O′A的解析式为y=x﹣.
(3)假设存在,由点O′的位置不同分两种情况:
①当点O′在BC的上方时,设点P(0,m),过点O′作O′G⊥OA于点G,过点P作PQ⊥O′G于点Q,如图2所示.
∵OP=CF,
∴BF=BC﹣CF=10﹣m,
∵点C(0,8),
∴AB=OC=8.
在Rt△ABF中,AB=8,BF=10﹣m,
∴AF==.
∵O′G⊥x轴,AB⊥OA,
∴O′G∥AB,
∴△O′GA∽△ABF,
∴,
∴O′G=,AG=,
∴O′Q=O′G﹣OP=﹣m,PQ=OA﹣AG=10﹣.
∵∠PO′Q+∠O′PQ=90°,∠PO′Q+∠AO′G=90°,
∴∠O′PQ=∠AO′G=∠FAB,
∴,
∴PQ==10﹣,
解得:m1=,m2=10,
经检验m1=是分式方程的解,
此时点P的坐标为(0,);
②当点O′在BC的下方时,设AF与y轴的交点为M,如图3所示.
设点P(0,m),则CF=OP=m,
BF=10+m,AB=8,OA=10,AF==.
∵BC∥AO,
∴∠AFB=∠MAO,
∴,
∴OM=,
∴PM=OM﹣OP=﹣m,
∵∠MPO′与∠AMO互余,
∴∠MPO′=∠AFB,
∴,即,
解得:m3=,m4=﹣10(舍去),
经检验m3=是分式方程的解,
此时点P的坐标为(0,).
综上可知:当点P在矩形OABC边OC的运动过程中,存在某一时刻,使得线段CF与线段OP的长度相等,点P的坐标为(0,)或(0,).
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【题目】如图,直线y=﹣x+b与反比例函数的图象相交于点A(a,3),且与x轴相交于点B.
(1)求a、b的值;
(2)若点P在x轴上,且△AOP的面积是△AOB的面积的,求点P的坐标.
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【题目】如图是某地6月1日至6月7日每天最高、最低气温的折线统计图。
请你根据折线统计图,回答下列问题:
(1)在这7天中,日温差最大的一天是6月_____日;
(2)求这7天的日最高气温的平均数;
(3)求这7天日最高气温的方差。
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【题目】点P在第四象限内,P到x轴的距离是4,到y轴的距离是3,那么点P的坐标为( )
A. (-4,3) B. (-3,4) C. (4,-3) D. (3,-4)
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【题目】八年级1班生活委员小华去为班级购买两种单价分别为8元和10元的盆栽,共有100元,若小华将100元恰好用完,共有几种购买方案( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=2x+b(b<0)与坐标轴交于A,B两点,与双曲线y=(x>0)交于D点,过点D作DC⊥x轴,垂足为C,连接OD.已知△AOB∽△ACD,相似比为.
(1)如果b=﹣2,求k的值;
(2)试探究k与b的数量关系,并直接写出直线OD的解析式.
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