Question

12．如图，点P是四边形ABCD的对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠CBD=45°．∠ADB=105°，试探究EF与PF之间的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 连接PE，由三角形中位线定理可知PF=PE，且∠EPF=120°，过点P作PG⊥EF，由直角三角形的性质可求得FG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PF，可求得EF=$\sqrt{3}$PF．

解答 解：EF=$\sqrt{3}$PF．证明如下：
如图，连接PE，
∵P、E分别为BD、AB的中点，
∴PE∥AD，且PE=$\frac{1}{2}$AD，
∴∠ADP+∠EPD=180°，
∴∠EPD=75°，
∵F、P为CD、BD中点，
∴PF∥BC，且PF=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠DPF=∠DBC=45°，
∵AD=BC，
∴PF=PE，且∠EPF=75°+45°=120°，
过P作PG⊥EF于点G，则EF=2FG，
在Rt△PFG中，由勾定理可得FG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PF，
∴EF=$\sqrt{3}$PF．

点评 本题主要考查三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行且等于第三边的一半是解题的关键．