Question

【题目】图示为一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面的距离为2m．

(1)若图中的拱形呈抛物线形状，当水面下降1m后，水面宽为多少？

(2)若图中的拱形呈圆弧形状，当水面下降1m后，水面宽又为多少？

Answer 1

【答案】（1）m；（2）当水面下降1m后，水面宽为m

【解析】

（1）先建立直角坐标系，求出函数解析式，计算当y=-1时的横坐标即可得到答案；

（2）设弧AB的圆心为O，过点O作AB的垂线，交弧于点D，垂足为点C，连接OB，设圆的半径为x m，根据勾股定理列方程求出半径，设水位下降1m后的水面宽为EF，交OD于点M，根据勾股定理即可求出答案.

（1）以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，则点B（6，0），A（-6，0），

∵（0，2）在抛物线上，

∴设其抛物线为：y=ax2+2，

把（6，0）代入得：

0=a×62+2，

∴，

∴抛物线为：

当y=-1时，

有，

解得 ，

∴此时水面的宽为： （m）；

（2）如图，设弧AB的圆心为O，过点O作AB的垂线，交弧于点D，垂足为点C，连接OB，

则CD=2，BC=6．

设圆的半径为x m，

则OC=(x-2)m

由勾股定理得：(x-2)2+62=x2

解得：x=10

设水位下降1m后的水面宽为EF，交OD于点M，则OM=10-3=7(m)，

连接OF，由勾股定理得：

m．

∴当水面下降1m后，水面宽为m.