Question

【题目】在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，O是BC边上的点且⊙O与AB、AC都相切，切点分别为D、E．

（1）求⊙O的半径；

（2）如果F为上的一个动点（不与D、E），过点F作⊙O的切线分别与边AB、AC相交于G、H，连接OG、OH，有两个结论：①四边形BCHG的周长不变，②∠GOH的度数不变．已知这两个结论只有一个正确，找出正确的结论并证明；

（3）探究：在（2）的条件下，设BG＝x，CH＝y，试问y与x之间满足怎样的函数关系，写出你的探究过程并确定自变量x的取值范围，并说明当x＝y时F点的位置．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）②的结论正确，证明详见解析；（3）y＝， 2≤x≤4，F为AO与圆的交点同时F是的中点．

【解析】

（1）连接OD、OE、OA；构造正方形和直角三角形，利用勾股定理和正方形的性质解答；

（2）连接OF、OG、OH；根据切线长定理和圆的半径相等，构造全等三角形，即△DOG≌△FOG，△FOH≌△EOH；得到相等的角∠DOG＝∠FOG，∠FOH＝∠EOH；进而得到∠GOH＝＝45°；

（3）当x＝y时，有AG＝AH，根据平行线分线段成比例定理的逆定理，判定GH∥BC，根据切线性质，判断F为AO与圆的交点同时F是的中点．

（1）连接OD、OE、OA，

∵O是BC边上的点且⊙O与AB、AC都相切，

∴OD⊥AB，AC⊥OE，

又∵∠BAC＝90°，且OD＝OE，

∴四边形ADOE为正方形，

∴OE＝AE，`

∴∠OAE＝45°；

又∵∠C＝45°，

∴OE＝2，△OAC为等腰直角三角形，

AE＝EC＝AC＝×4＝2，即⊙O的半径是2；

（2）②的结论正确；理由如下：

连接OF、OG、OH，

由题意，GD、GF以及HF、HE与圆相切，

所以GD＝GF，HE＝HF，∠DOG＝∠FOG，∠FOH＝∠HOE，

而∠DOE＝90°，所以可以得到∠GOH＝＝45°．

（3）BG＝x，CH＝y，

易得：GF＝GD＝x﹣2，FH＝HE＝y﹣2，AG＝4﹣x，AE＝4﹣y，

所以GH＝x+x﹣4，

由∠A＝90°，可得GH2＝AG2+AH2，代入上述各数值，

化简可得y＝，由AG≥0，AE≥0，可得x≤4，y≤4，所以2≤x≤4，

当x＝y时，有AG＝AH，由于AB＝AC所以可得GH与BC平行，连接AO，

设AO交GH于F'，有∠OFH＝90°，

所以F'为切点F，即F为AO与圆的交点同时F是的中点．