Question

【题目】如图，在和中，，点为射线，的交点．

（1）问题提出：如图1，若，．

①与的数量关系为________；

②的度数为________．

（2）猜想论证：如图2，若，则（1）中的结论是否成立？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）成立，理由见解析

【解析】

（1）①依据等腰三角形的性质得到AB=AC，AD=AE，依据同角的余角相等得到∠DAB=∠CAE，然后依据“SAS”可证明△ADB≌△AEC，最后，依据全等三角形的性质可得到∠ABD=∠ACE；②由三角形内角和定理可求∠BPC的度数；

（2）由30°角的性质可知，，从而可得，进而可证，由相似三角形的性质和三角形内角和即可得出结论；

（1）①∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，

∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE,∠ABC=∠ACB=45°,

∴△ADB≌△AEC（SAS）,

∴∠ABD=∠ACE，

②∵∠BPC=180°-∠ABD-∠ABC-∠BCP=180°-45°-（∠BCP+∠ACE）,

∴∠BPC=90°,

故答案为：

；

（2）（1）中结论成立，理由：

在中，，

∴．

在中，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

∴；

∵

∴．