Question

如图，已知抛物线与x轴交于A（m，0）、B（n，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，若m-n=-2，m•n=3．
（1）求抛物线的表达式及P点的坐标；
（2）求△ACP的面积S_△ACP．

Answer 1

解：（1）设抛物线的表达式为y=ax²+bx+c，
∵抛物线过C（0，3），
∴c=3，
又∵抛物线与x轴交于A（m，0）、B（n，0）两点，
∴m、n为一元二次方程ax²+bx+3=0的解，
∴m+n=-，mn=，
由已知m-n=-2，m•n=3，
∴解之得a=1，b=-4；m=1，n=3，
∴抛物线的表达式为y=x²-4x+3，P点的坐标是（2，-1）

（2）由（1）知，抛物线的顶点P（2，-1），
设直线CP的解析式为y=kx+3，则有：
2k+3=-1，k=-2
∴直线CP的解析式为y=-2x+3．
设直线CP与x轴的交点为D，则有D（，0）
∴AD=-1=
∴S_△ACP=S_△ACD+S_△APD=×3×+×1×=1．
分析：（1）根据C点的坐标，可设抛物线的解析式为y=ax²+bx+3，根据韦达定理有m+n=-，mn=，然后联立m-n=-2、mn=3即可求出a、b的值，也就能得出抛物线的解析式，根据抛物线的解析式可用配方法或公式法求出抛物线的顶点坐标．
（2）设直线CP与x轴的交点为D，可求出直线CP的解析式进而确定出D点的坐标，即可求得AD的长，然后将三角形ACP分成三角形ADC和APD两部分进行求解即可．
点评：本题考查了二次函数解析式的确定、韦达定理、图形面积的求法等知识点．