Question

已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上．
（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；
（2）如图2，若∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）关系是：AD+AB=AC（1分）
证明：∵AC平分∠MAN，∠MAN=120°
∴∠CAD=∠CAB=60°
又∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠ACD=∠ACB=30°（2分）
则AD=AB=AC（直角三角形一锐角为30°，则它所对直角边为斜边一半）（4分）
∴AD+AB=AC（5分）；

（2）仍成立．
证明：过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F（6分）
∵AC平分∠MAN
∴CE=CF（角平分线上点到角两边距离相等）（7分）
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°
∴∠CDE=∠ABC
又∠CED=∠CFB=90°，∴△CED≌△CFB（AAS）（10分）
∵ED=FB，∴AD+AB=AE-ED+AF+FB=AE+AF（11分）
由（1）知AE+AF=AC（12分）
∴AD+AB=AC（13分）
分析：（1）得到∠ACD=∠ACB=30°后再可以证得AD=AB=AC从而，证得结论；
（2）过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F，证得△CED≌△CFB后即可得到AD+AB=AE-ED+AF+FB=AE+AF，从而证得结论．
点评：本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质等知识，是一道比较好的综合题．