Question

18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，BD是⊙O的直径．PA∥BC，与DB的延长线交于点P．连结AD．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若tan∠ABC=$\frac{1}{2}$，BC=4，求BD与AD的长．

Answer 1

分析 （1）由垂径定理的推论可证明OA⊥BC，又因为PA∥BC，所以AP⊥OA，即PA是⊙O的切线；
（2）设BC和OA相较于点M，由已知条件易求AB的长，由圆周角定理定理可得△DAB是直角三角形，进而可求出BD，AD的长．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴$\widehat{AB}=\widehat{AC}$，
∴OA⊥BC，
∵PA∥BC，
∴AP⊥OA，
即PA是⊙O的切线；
（2）∵AC=BC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BC=4，OM⊥BC，
∴BM=2，
∵tan∠ABC=$\frac{1}{2}$，
∴AB=$\sqrt{5}$，
∵∠D=∠ACB，tan∠ABC=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠D=$\frac{1}{2}$，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∴AD=2$\sqrt{5}$，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=5．

点评 本题考查了切线的判定、圆周角定理以及其推论的运用、垂径定理以及其推论的运用、勾股定理的运用，锐角三角的函数的运用，题目的综合性较强，难度中等，是一道不错的中考试题．