Question

8．如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts．
（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF．
（2）填空：
①当t=6s时，四边形ACFE是菱形；
②当t=$\frac{12}{5}$或4s时，S_△ACE=2S_△FCE．

Answer 1

分析 （1）由D为AC的中点得出AC=CD，由AG∥BC可得出∠EAD=∠FCD，∠AED=∠CFD，满足全等三角形的判定定理（AAS），从而得证；
（2）①设x秒时，AE=CF，结合图形列出关于x的一元一次方程，解方程求出x的值，算出此时四边形ACFE各边的长度，得知四边形ACFE为菱形；
②由AG∥BC得知△ACE与△FCE为等高的三角形，结合三角形的面积公式设满足AE=2CF的时间为y，由路程=速度×时间列出关于y的一元一次方程，解方程即可得出结论．

解答 （1）证明：∵D为AC的中点，
∴AC=CD，
∵AG∥BC，
∴∠EAD=∠FCD，∠AED=∠CFD．
在△ADE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠FCD}\\{∠AED=∠CFD}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（AAS）．
（2）解：①设x秒时，AE=CF，
则有2x-6=x，解得x=6．
此时AE=CF=AC=6，
即四边形ACFE是菱形，
②∵AG∥BC，
∴△ACE与△FCE为等高的三角形，
当AE=2CF时，S_△ACE=2S_△FCE．
设满足AE=2CF的时间为y，
则有x=2|6-2x|，
解得：x=$\frac{12}{5}$，或x=4．
故答案为：①6；②$\frac{12}{5}$或4．

点评 本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的性质以及菱形的判断，解题的关键：（1）找出符合AAS的各条件；（2）列出方程．本题属于基础题，难度不大，（1）没有难度；（2）①也好解决；②有的同学会落下一种情况，故在此处找出的是含绝对值的方程．