Question

6．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，点E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点．连接EF，FG，GH，EH，试探究：EFGH是怎样的特殊四边形？

Answer 1

分析 由三角形中位线的性质，可判定EH∥FG，GH∥EF，继而可证得四边形EFGH是平行四边形．四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．

解答 解：∵点E、F分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点，
∴EF∥BD，且EF=$\frac{1}{2}$BD=3．
同理求得EH∥AC∥GF，且EH=GF=$\frac{1}{2}$AC=4，
又∵AC⊥BD，
∴EF∥GH，FG∥HE且EF⊥FG．
∴四边形EFGH是矩形．

点评 本题考查的是中点四边形．解题时，利用了矩形的判定以及矩形的定理，矩形的判定定理有：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．