Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图，下列结论正确的有（　　）个．
①abc＞0；②a+b+c＜0；③m（am+b）≤a-b（m为任意实数）；④4a-2b+c＜0；⑤3a＜2b．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：数形结合

分析：由抛物线开口向下得a＜0，由抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=-1得b=2a＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，所以abc＞0；由于x=1时，函数值小于0，所以a+b+c＜0；根据抛物线的对称轴为直线x=-1，开口向下，得到当x=-1时，y有最大值，所以am²+bm+c≤a-b+c（m为任意实数），整理得到m（am+b）≤a-b（m为任意实数）；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点在点（-3，0）和（-2，0）之间，则当x=-2时，y＞0，即4a-2b+c＞0；由b=2a，则2b-3a=a＜0，所以2b＜3a．

解答：解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=-1＜0，
∴b=2a，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以①正确；
∵x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴当x=-1时，y有最大值，
∴am²+bm+c≤a-b+c（m为任意实数），
∴m（am+b）≤a-b（m为任意实数），所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，抛物线与x轴的一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴抛物线与x轴的一个交点在点（-3，0）和（-2，0）之间，
∴当x=-2时，y＞0，
∴4a-2b+c＞0，所以④错误；
∵b=2a，
∴2b-3a=4a-3a=a＜0，即2b＜3a，所以⑤错误．
故选C．

点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-

b

2a

；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b²-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b²-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b²-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．