Question

如图，在四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点，且对角线AC⊥BD，AC：BD=4：3，AC+BD=28，则MQ：QP=

 

，四边形MNPQ的面积是

 

．

Answer 1

考点：中点四边形

专题：

分析：由三角形中位线定理来求MQ：QP的值；有一个角是直角的平行四边形是矩形．利用中位线定理可得出四边形EFGH矩形，根据矩形的面积公式解答即可．

解答：解：①∵AC：BD=4：3，AC+BD=28，
∴AC=16，BD=12．
如图，∵M、Q分别是AD、CD的中点，
∴MQ是△ADC的中位线，
∴MQ=

1

2

AC=8．
同理，QP=

1

2

BD=6．
∴MQ：QP=8：6=4：3．
故填：4：3；
②∵AC：BD=4：3，AC+BD=28，
∴AC=16，BD=12．
∵点M、N分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点，
∴MN∥BD．
同理，PQ∥BD，MQ∥AC，NP∥AC，且
∴MN∥PQ，MQ∥NP，
∴四边形MNPQ是平行四边形．
又∵AC⊥BD，MQ⊥MN，
∴平行四边形MNPQ是矩形．
∴四边形MNPQ的面积是：MQ•PQ=8×6=48，即四边形MNPQ的面积是48．
故填：48．

点评：本题考查的是中点四边形．解题时，利用了矩形的判定以及矩形的定理，矩形的判定定理有：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．