Question

3．若将一个自然数从左到右各数位上的数字排列成一列后，后一个数减去前一个数的差始终是同一个常数，则这个自然数叫做“阶梯数”．如：四位数1357排列后为：1，3，5，7，因为7-5=5-3=3-1=2，且差2是常数，故1357是一个四位阶梯数．又如，9876，55555等数也是阶梯数．
        若一个自然数从左到右各数位上的数字和另一个自然数从右到左各数位上的数字完全相同，则称这两个自然数互为逆序数，简称“互逆数”．例如：1357与7531，9876与6789，…，都是互逆数．
（1）写出任意一个三位阶梯数及其互逆数：123、123和321．并证明任意一个三位数与其互逆数的差能被198整除（设百位数为a，后一个数位于前一个数位差的常数为b，1≤a≤9，0≤b≤4，且a、b为整数）．
（2）若一个四位阶梯数能被6整除，求出符合条件的所有四位阶梯数．

Answer 1

分析 （1）写出任意一个三位阶梯数及其互逆数；
根据已知表示这个三位数和互逆数，并计算它们的差为：-198b，从而得出结论；
（2）先设未知数：设这个四位阶梯数的首位数字为a，差是b，这里b是连续加三次，所以不能大于3，还要注意a+b＜9，且a、b为整数，所以要分情况讨论：
当b=0、±1、±2、±3时，代入四位数中依次计算，找出能补6整除的四位阶梯数．

解答 解：（1）三位阶梯数为：123，互逆数为：123和321，
根据题意得：百位数为a，则十位数字为：a+b，个位数字为：a+2b，
其互逆数的百位数为a+2b，则十位数字为：a+b，个位数字为：a，
则100a+10（a+b）+（a+2b）-[100（a+2b）+10（a+b）+a]，
=100a+10a+10b+a+2b-100a-200b-10a-10b-a，
=-198b，
∴任意一个三位数与其互逆数的差能被198整除；
故答案为：123，123或321；
（2）设这个四位阶梯数的首位数字为a，差是b（1≤a≤9，|b|≤3，且a、b为整数），
①当b=0时，这四位数字都是a，则1000a+100a+10a+a=1111a，
当a=6时，这个四位阶梯数为6666，能被6整除；
②当b=1时，这四位数字分别是a、a+1、a+2、a+3，则1000a+100（a+1）+10（a+2）+a+3=1111a+123，
当a=3时，这个四位阶梯数为3456，能被6整除；
③当b=2时，这四位数字分别是a、a+2、a+4、a+6，则1000a+100（a+2）+10（a+4）+a+6=1111a+246，
此时没有能被6整除的四位阶梯数；
④当b=3时，这四位数字分别是a、a+3、a+6、a+9，则1000a+100（a+3）+10（a+6）+a+9=1111a+369，
此时没有能被6整除的四位阶梯数；
⑤当b=-1时，这四位数字分别是a、a-1、a-2、a-3，则1000a+100（a-1）+10（a-2）+a-3=1111a-123，
当a=3时，这个四位阶梯数为3210，能被6整除；
当a=9时，这个四位阶梯数为9876，能被6整除；
⑥当b=-2时，这四位数字分别是a、a-2、a-4、a-6，则1000a+100（a-2）+10（a-4）+a-6=1111a-246，
当a=6时，这个四位阶梯数为6420，能被6整除；
⑦当b=-3时，这四位数字分别是a、a-3、a-6、a-9，则1000a+100（a-3）+10（a-6）+a-9=1111a-369，
当a=9时，这个四位阶梯数为9630，能被6整除；
综上所述，符合条件的所有四位阶梯数分别是：6666、3456、3210、9876、6420、9630．

点评 本题考查了因式分解的应用、整式的加减，比较复杂，利用因式分解解决求值问题和证明问题；灵活利用整数的整除性．