Question

12．如图，D是直径AB延长线上一点，C是圆O上一点且CO⊥AB，连接CB，DE与圆O相切于E，EF与AB相交于F．
（1）若BC=4$\sqrt{2}$，CF=$\sqrt{17}$，求BF的长．
（2）若在（1）的条件下，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质求出OC、OB，根据勾股定理求出OF，计算即可；
（2）连接OE，根据切线的性质得到∠OED=90°，根据等腰三角形的性质求出DE=DF，根据切割线定理计算即可．

解答 解：（1）∵CO⊥AB，
∴OC=OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=4，
∴OF=$\sqrt{C{F}^{2}-O{C}^{2}}$=1，
∴BF=OB-OF=3；
（2）连接OE，
∵DE与圆O相切于E，
∴∠OED=90°，
∴∠OEC+∠CED=90°，
∵∠OCF+∠OFC=90°，∠OFC=∠DFE，
∴∠DFE=∠DEF，
∴DF=DE，
由切割线定理得，DE²=DB•DA，
即DE²=（DE-3）（DE+5）
解得，DE=7.5．

点评 本题考查的是圆的切线的性质、切割线定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．