Question

3．将矩形ABCD折叠，点A与对角线BD上的点G重合，折痕BE交AD于点E，点C与对角线上的点H重合，折痕DF交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AB=6，AD=8，求EH的长．

Answer 1

分析 （1）利用矩形性质得出∠ABE=∠CDF，∠EBD=∠FDB，进而得出△ABE≌△CDF，即可得出EB∥DF，EB=DF，即可得出答案；
（2）根据勾股定理即可得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，∠A=∠C．
∴∠ABD=∠CDB，
由翻折知，∠ABE=∠EBD=$\frac{1}{2}$∠ABD，∠CDF=∠FDB=$\frac{1}{2}$∠CDB，
∴∠ABE=∠CDF，∠EBD=∠FDB，
在△ABE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CDF}\\{AB=CD}\\{∠A=∠C}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴EB=DF，
∵∠EBD=∠FDB，
∴EB∥DF，
∴四边形EBDF为平行四边形．

（2）∵AB=6，AD=8，
∴BD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴设EG=x，则AE=x，DE=（8-x），AB=BG=6，则DG=10-6=4，
在Rt△DEG中，DG²+EG²=DE²，
∴4²+x²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴EG=3，
∵DH=BG=6，
∴HG=2，
∴EH=$\sqrt{E{G}^{2}+H{G}^{2}}$=$\sqrt{13}$．

点评 此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定以及勾股定理等知识，根据已知得出△ABE≌△CDF是解题关键．