Question

14．如图，A、B、C、D是数轴上四点，且A：-13，B：-10，C：14，D：20．
（1）线段AB以4个单位/秒的速度向右运动，线段CD以2个单位/秒的速度向左运动，几秒后，B、C相距10个单位长度；
（2）P为数轴上一动点，当PA+PB+PC+PD=80时，求P点对应的数；
（3）在（1）的条件下，当点B运动到线段CD上，且P在线段AB上的一点时，问是否存在等式BD-PA=3PC成立？若存在，求PD的长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设t秒后，B、C相距10个单位长度，根据各自的速度表示出点B和C所到位置表示的数，要分两种情况：①点B在点C的左侧时，②点B在点C的右侧时，列式计算；
（2）先设点P表示的数为a，分五种情况讨论，根据两点的距离公式代入PA+PB+PC+PD=80中列式，解方程即可；
（3）先根据（1）中的速度和时间表示出A、B、C、D四点所表示的数，按向左减，向右加的原则，再设分两种情况讨论：①当点P在C的右侧时，如图6，②当点P在C的左侧时，如图7，设PA=x，则P表示的数为：-13+4t+x，根据BD-PA=3PC列式计算即可．

解答 解：（1）设t秒后，B、C相距10个单位长度，
t秒后，点B由-10运动到-10+4t，
点C由14运动到14-2t，
则-10+4t-（14-2t）=10或14-2t-（-10+4t）=10，
解得t=$\frac{17}{3}$或$\frac{7}{3}$，
答：$\frac{17}{3}$秒或$\frac{7}{3}$秒后，B、C相距10个单位长度；
（2）设点P表示的数为a，
分五种情况：
①当P在点D的右侧时，如图1，
由题意得：a+13+a+10+a-14+a-20=80，
a=$\frac{91}{4}$，
②当P在C、D之间时，如图2，
由题意得：a+13+a+10+a-14+20-a=80，
a=$\frac{51}{2}$（不符合题意，舍），
③当P在B、C之间时，如图3，
由题意得：a+13+a+10+14-a+20-a=80
此方程无解，
④当P在A、B之间时，如图4，
由题意得：a+13-10-a+14-a+20-a=80
a=-$\frac{43}{2}$（不符合题意，舍），
⑤当P在A的左侧时，如图5，
由题意得：-13-a-10-a+14-a+20-a=80
a=-$\frac{69}{4}$
综上所述，P点对应的数是$\frac{91}{4}$或-$\frac{69}{4}$；
（3）存在，
t秒后，A表示的数为：-13+4t，
B表示的数为：-10+4t，
C表示的数为：14-2t，
D表示的数为：20-2t，
设PA=x，则P表示的数为：-13+4t+x，
①当点P在C的右侧时，如图6，
∵BD-PA=3PC，
∴20-2t-（-10+4t）-x=3（-13+4t+x-14+2t），
x=$\frac{111-24t}{4}$，
则P表示的数为：-13+4t+x=-13+4t+$\frac{111-24t}{4}$=-2t+$\frac{69}{4}$，
∴PD=20-2t+2t-$\frac{69}{4}$=20-17.25=2.75；
②当点P在C的左侧时，如图7，
同理得：20-2t-（-10+4t）-x=3（14-2t+13-4t-x），
x=$\frac{-12t+51}{2}$，
则P表示的数为：-13+4t+x=-13+4t+$\frac{-12t+51}{2}$=-2t+12.5，
∴PD=20-2t-（-2t+12.5）=7.5，
综上所述，PD的长为2.75或7.5．

点评 本题考查了数轴，涉及的知识点有：非负数的性质、数轴上两点的距离、路程问题，综合性较强，有一定的难度．