Question

19．如图，已知，抛物线y=ax²-2ax-3a与x轴交于A，B，与y轴负半轴交于C点，且OC=3OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E为直线y=1上一动点，F为抛物线对称轴上一点，当F点在对称轴上何处时，四边形ACEF的周长最短？
（3）点D（1，0）为x轴上一点，第四象限的抛物线上是否存在点P，使得线段AP与直线CD的夹角为45°？若存在这样的P点，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令y=0，可以求得A（-1，0），B（3，0），根据条件求出点C坐标，把点C坐标代入抛物线的解析式求出a即可．
（2）如图2中，作点A关于直线y=1的对称点A′，点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接A′C′与直线y=1交于点E，与对称轴交于点F，此时四边形ACEF的周长最短．求出直线A′C′与对称轴的交点即可．
（3）如图3中，延长CD到N使得DN=CD，作DM⊥CD，在DM上取一点M，使得DM=CD=DN．则△CDN，△DMN，△CMN都是等腰直角三角形．分两种情形①过点A作AP∥CM，交CN于G，交抛物线于P，则∠NGP=∠NCM=45°，此时点P即为所求．②过点A作AP′∥NM，交CN于H，交抛物线于P′，则∠NHA=∠N=45°，此时点P′即为所求．

解答 解：（1）令y=0则有ax²-2ax-3a=0，
∵a≠0，
∴x²-2x-3=0，
∴x=-1或3，
∴A（-1，0），B（3，0），OA=1，OB=3，
∵OC=3OA，
∴OC=3，
∴C（0，-3）代入y=ax²-2ax-3a得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3．

（2）如图2中，作点A关于直线y=1的对称点A′，点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接A′C′与直线y=1交于点E，与对称轴交于点F，此时四边形ACEF的周长最短．

∵四边形AEFC的周长=AC+AE+EF+CF=AC+A′E+EF+FC′=AC+A′C′，
又∵AC为定长，A′C′是线段，
∴根据两点之间线段最短，可知此时四边形AEFC的周长最小．
∵A′（-1，2），C′（2，-3），
∴直线A′C′的解析式为y=-$\frac{5}{3}$x+$\frac{1}{3}$，
当x=1时，y=-$\frac{4}{3}$，
∴此时点F坐标（1，-$\frac{4}{3}$）．

（3）如图3中，延长CD到N使得DN=CD，作DM⊥CD，在DM上取一点M，使得DM=CD=DN．则△CDN，△DMN，△CMN都是等腰直角三角形．

∵点M（4，-1），N（2，3），C（0，-3）
∴直线CM的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-3，直线MN的解析式为y=-2x+7，
过点A作AP∥CM，交CN于G，交抛物线于P，则∠NGP=∠NCM=45°，此时点P即为所求．
∵直线AP∥CM，
∴可得直线AP的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{2}}\\{y=\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
∴点P坐标为（$\frac{7}{2}$，$\frac{9}{4}$）．
∵点P在第四象限，
∴点P坐标为（$\frac{7}{2}$，$\frac{9}{4}$），不合题意，
过点A作AP′∥NM，交CN于H，交抛物线于P′，则∠NHA=∠N=45°，此时点P′即为所求．
∵直线AP′∥NM，
∴可得直线AP′的解析式为y=-2x-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-2}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
∴P′（1，-4），
综上所述，满足条件的点P坐标为（1，-4）．

点评 本题考查二次函数综合题、轴对称变换、等腰直角三角形的性质和判断、最短问题等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法求得函数解析式，学会添加辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题．