Question

【题目】一个正整数，由N个数字组成，若它的第一位数可以被1整除，它的前两位数可以被2整除，前三位数可以被3整除，…，一直到前N位数可以被N整除，则这样的数叫做“精巧数”．如：123的第一位数“1”可以被1整除，前两位数“12”可以被2整除，“123”可以被3整除，则123是一个“精巧数”．

（1）若四位数是一个“精巧数”，求k的值；

（2）若一个三位“精巧数”各位数字之和为一个完全平方数，请求出所有满足条件的三位“精巧数”．

Answer 1

【答案】（1）2或6；（2）207，225，243，261．

【解析】

（1）由四位数 是一个“精巧数”，可得1230+k是4的倍数；即可得1230+k=4n，继而可求得答案； （2）由是“精巧数”，可得a为偶数，且2+a+b是3的倍数，且2+a+b<30，又由各位数字之和为一个完全平方数，可得2+a+b=3=9，继而求得答案．

本题解析：

解：（1）∵四位数是一个“精巧数”，

∴1230+k是4的倍数；

即1230+k=4n，

当n=308时，k=2；

当n=309时，k=6，

∴k=2或6；

（2）∵是“精巧数”，

∴a为偶数，且2+a+b是3的倍数，

∵a＜10，b＜10，

∴2+a+b＜30，

∵各位数字之和为一个完全平方数，

∴2+a+b=32=9，

∴当a=0时，b=7，

当a=2时，b=5，

当a=4时，b=3，

当a=6时，b=1，

∴所有满足条件的三位“精巧数”有：207，225，243，261．