【题目】如图,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB>CD,AD=AB+CD.
(1)利用尺规作∠ADC的平分线DE,交BC于点E,连接AE(保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)的条件下,①证明:AE⊥DE;
②若CD=2,AB=4,点M,N分别是AE,AB上的动点,求BM+MN的最小值.
【答案】(1)答案见解析;(2)①证明见解析;②.
【解析】
(1)利用尺规作出∠ADC的角平分线即可;
(2)①延长DE交AB的延长线于F.只要证明AD=AF,DE=EF,利用等腰三角形三线合一的性质即可解决问题;②作点B关于AE的对称点K,连接EK,作KH⊥AB于H,DG⊥AB于G.连接MK.由MB=MK,推出MB+MN=KM+MN,根据垂线段最短可知:当K、M、N共线,且与KH重合时,KM+MN的值最小,最小值为KH的长.
(1)如图,∠ADC的平分线DE如图所示,
(2)延长DE交AB的延长线于F,
∵CD∥AF,
∴∠CDE=∠F,
∵∠CDE=∠ADE,
∴∠ADF=∠F,
∴AD=AF,
∵AD=AB+CD=AB+BF,
∴CD=BF,
∵∠DEC=∠BEF,
∴△DEC≌△FEB,
∴DE=EF,
∵AD=AF,
∴AE⊥DE;
②作点B关于AE的对称点K,连接EK,作KH⊥AB于H,DG⊥AB于G.连接MK,
∵AD=AF,DE=EF,
∴AE平分∠DAF,则△AEK≌△AEB,
∴AK=AB=4,
在Rt△ADG中,DG,
∵KH∥DG,
∴,
∴,
∴KH,
∵MB=MK,
∴MB+MN=KM+MN,
∴当K、M、N共线,且与KH重合时,KM+MN的值最小,最小值为KH的长,∴BM+MN的最小值为.
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【题目】在四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D中,其中正面分别画有四个不同的几何图形(如图),小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张(不放回),再从余下的3张纸牌中摸出一张.
(1)用树状图(或列表法)表示两次摸牌所有可能出现的结果(纸牌可用A、B、C、D表示);
(2)求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形,既是轴对称图形又是中心对称图形的概率.
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【题目】如图,九(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度,已知标杆高度CD=3m,标杆与旗杆的水平距离BD=15m,人的眼睛与地面的高度EF=1.6m,人与标杆CD的水平距离DF=2m,人的眼睛E、标杆顶点C和旗杆顶点A在同一直线,求旗杆AB的高度.
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【题目】如图,在ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,且BE=DF.
(1)求证:ABCD是菱形;
(2)若AB=5,AC=6,求ABCD的面积.
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【题目】永州植物园“清风园”共设11个主题展区.为推进校园文化建设,某校九年级(1)班组织部分学生到“清风园”参观后,开展“我最喜欢的主题展区”投票调查.要求学生从“和文化”、“孝文化”、“德文化”、“理学文化”、“瑶文化”五个展区中选择一项,根据调查结果绘制出了两幅不完整的条形统计图和扇形统计图.结合图中信息,回答下列问题.
(1)参观的学生总人数为 人;
(2)在扇形统计图中最喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比为 ;
(3)补全条形统计图;
(4)从最喜欢“德文化”的学生中随机选两人参加知识抢答赛,最喜欢“德文化”的学生甲被选中的概率为 .
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A在y轴上,且点A坐标为(0,4),BC在x轴正半轴上,点C在B点右侧,反比例函数(x>0)的图象分别交边AD,CD于E,F,连结BF,已知,BC=k,AE=CF,且S四边形ABFD=20,则k= _________.
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【题目】一名徒步爱好者来衡阳旅行,他从宾馆C出发,沿北偏东30°的方向行走2000米到达石鼓书院A处,参观后又从A处沿正南方向行走一段距离,到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B处,如图所示.
(1)求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离;
(2)若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆,那么他在15分钟内能否到达宾馆?
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【题目】上周六上午点,小颖同爸爸妈妈一起从西安出发回安康看望姥姥,途中他们在一个服务区休息了半小时,然后直达姥姥家,如图,是小颖一家这次行程中距姥姥家的距离(千米)与他们路途所用的时间(时)之间的函数图象,请根据以上信息,解答下列问题:
(1)求直线所对应的函数关系式;
(2)已知小颖一家出服务区后,行驶分钟时,距姥姥家还有千米,问小颖一家当天几点到达姥姥家?
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