Question

20．先阅读下面的材料．再解答下面的问题．
∵（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）=a-b，
∴a-b=（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）
特别地．（$\sqrt{12}$+$\sqrt{11}$）×（$\sqrt{12}$-$\sqrt{11}$）=1，
∴$\frac{1}{\sqrt{12}-\sqrt{11}}$=$\sqrt{12}$+$\sqrt{11}$，
当然也可以利用12-11=1得1=12-11，
故$\frac{1}{\sqrt{12}-\sqrt{11}}$=$\frac{（\sqrt{12}）^2-（\sqrt{11}）^2}{\sqrt{12}-\sqrt{11}}$=$\sqrt{12}+\sqrt{11}$
这种变形也是将分母有理化．
利用上述的思路方法解答下列问题：
（1）计算：$\frac{1}{3-\sqrt{8}}$-$\frac{1}{\sqrt{8}-\sqrt{7}}$+$\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}$-$\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}$+$\frac{1}{\sqrt{5}+2}$；
（2）计算：$\frac{5}{4-\sqrt{11}}$-$\frac{4}{\sqrt{11}-\sqrt{7}}$-$\frac{2}{3+\sqrt{7}}$．

Answer 1

分析 （1）先把每一部分分母有理化，化简后合并同类二次根式即可；
（2）先把每一部分分母有理化，化简后合并同类二次根式即可．

解答 解：（1）原式=$\frac{3+\sqrt{8}}{（3-\sqrt{8}）（3+\sqrt{8}）}$-$\frac{\sqrt{8}+\sqrt{7}}{（\sqrt{8}-\sqrt{7}）（\sqrt{8}+\sqrt{7}）}$+$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{（\sqrt{7}-\sqrt{6}）（\sqrt{7}+\sqrt{6}）}$-$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{（\sqrt{6}-\sqrt{5}）（\sqrt{6}+\sqrt{5}）}$+$\frac{\sqrt{5}-2}{（\sqrt{5}+2）（\sqrt{5}-2）}$
=3+$\sqrt{8}$-（$\sqrt{8}$+$\sqrt{7}$）+$\sqrt{7}$+$\sqrt{6}$-（$\sqrt{6}$+$\sqrt{5}$）+$\sqrt{5}$-2
=3-2
=1；

（2）原式=$\frac{5×（4+\sqrt{11}）}{（4-\sqrt{11}）（4+\sqrt{11}）}$-$\frac{4×（\sqrt{11}+\sqrt{7}）}{（\sqrt{11}-\sqrt{7}）（\sqrt{11}+\sqrt{7}）}$-$\frac{2×（3-\sqrt{7}）}{（3+\sqrt{7}）（3-\sqrt{7}）}$
=4+$\sqrt{11}$-（$\sqrt{11}$+$\sqrt{7}$）-（3-$\sqrt{7}$））
=4+$\sqrt{11}$-$\sqrt{11}$-$\sqrt{7}$-3+$\sqrt{7}$
=1．

点评 本题考查分母有理化的应用，能正确分母有理化因式时解此题的关键，难度适中．