Question

已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE和BF，且E，F为垂足．
（1）求证：EF=AE+BF；
（2）取AB的中点M，连接ME，MF．试判断△MEF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出∠AEC=∠BFC=90°，∠EAC=∠FCB，根据AAS证△EAC≌△FCB，推出CE=BF，AE=CF即可；
（1）连接CM求出∠MAE=∠MCF，CM=AM，根据SAS证△MAE≌△MCF，推出ME=MF，∠EMA=∠CMF，求出∠EMF=90°即可．

解答：（1）证明：∵AE⊥EF，BF⊥EF，∠ACB=90°
∴∠AEC=∠BFC=∠ACB=90°，
∴∠EAC+∠ECA=90°，∠ECA+∠FCB=90°，
∴∠EAC=∠FCB，
在△EAC和△FCB中

∠AEC=∠CFB ∠EAC=∠FCB AC=BC

∴△EAC≌△FCB（AAS），
∴CE=BF，AE=CF，
∴EF=CE+CF=AE+BF，
即EF=AE+BF．

（2）△MEF为等腰直角三角形，
解：△MEF为等腰直角三角形
理由是：连接CM，
∵△ABC是等腰直角三角形，AM=BM，
∴CM⊥AB，∠ACM=∠MCB=45°
∴CM=AM=BM=

1

2

AB
∵∠EAM=∠EAC+∠CAM=∠EAC+45°
∵∠MCF=∠BCF+∠MCB=∠BCF+45°
∵∠EAC=∠BCF，
∴∠MAE=∠MCF，
在△MAE和△MCF中

AE=CF ∠MAE=∠MCF AM=CM

∴△MAE≌△MCF（SAS）
∴EM=MF，∠CMF=∠AME，
∵∠AMC=90°，
∵∠AMC=∠CME+∠AME=∠CME+CMF=∠EMF，
∴∠AME=∠EMF=90°，
∴△MEF是等腰直角三角形．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，主要考查学生的推理能力，有一定的难度．