【题目】类比等腰三角形的定义,我们定义:有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.
(1)如图 1,在四边形 ABCD 中,添加一个条件使得四边形 ABCD 是“等邻边四边形”.请写出你添加的一个条件.
(2)小红猜想:对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形.她的猜想正确吗?请说明理由.
(3)如图 2,小红作了一个Rt△ABC,其中∠ABC=90°,AB=2,BC=1,并将 Rt△ABC 沿∠ABC 的平分线 BB′方向平移得到△A′B′C′,连结 AA′, BC′.小红要使得平移后的四边形 ABC′A′是“等邻边四边形”,应平移多少距离(即线段 B′B 的长)?
【答案】(1)AB=BC 或 BC=CD 或 CD=AD 或 AD=AB;(2)解:小红的结论正确,理由详见解析;(3)平移 2 或 或
或
.
【解析】
(1)由“等邻边四边形”的定义易得出结论;
(2)①先利用平行四边形的判定定理得平行四边形,再利用“等邻边四边形”定义得邻边相等,得出结论;
②由平移的性质易得BB′=AA′,A′B′∥AB,A′B′=AB=2,B′C′=BC=1,A′C′=AC=5,再利用“等邻边四边形”定义分类讨论,由勾股定理得出结论;
(3)由旋转的性质可得△ABF≌△ADC,由全等性质得∠ABF=∠ADC,∠BAF=∠DAC,AF=AC,FB=CD,利用相似三角形判定得△ACF∽△ABD,由相似的性质和四边形内角和得∠CBF=90°,利用勾股定理,等量代换得出结论.
(1)解:AB=BC 或 BC=CD 或 CD=AD 或 AD=AB
(2)解:小红的结论正确.
理由如下:∵四边形的对角线互相平分,
∴这个四边形是平行四边形,
∵四边形是“等邻边四边形”,
∴这个四边形有一组邻边相等,
∴这个“等邻边四边形”是菱形,
(3)解:由∠ABC=90°,AB=2,BC=1,得:AC= ,
∵将 Rt△ABC 平移得到 Rt△A′B′C′,
∴BA′=AA′,A′B′∥AB,A′B′=AB=2,B′C′=BC=1,A′C′=AC=,
①如图 1,当 AA′=AB 时,BB′=AA′=AB=2,
②如图 2,当 AA′=A′C′时,BB′=AA′=AC′=,
③当 AC′=BC′=时,如图 3,延长 C′B′交 AB 于点 D,则 C′B′⊥AB
∵BB′平分∠ABC,
∴∠ABB′= ∠ABC=45°
∴∠BB′D=∠ABB′=45°,
∴B′D=BD,
设 B′D=BD=x,则 C′D=x+1,BB′=x
∵根据在 Rt△BC′D 中,BC′2=C′D2+BD2 即 x2+(x+1)2=5
解得:x=1 或 x=﹣2(不合题意,舍去)
∴BB′=
④当BC′=AB=2 时,如图4,与(III)方法同理可得:(舍去)
∴ .
故应平移 2 或或
或
.
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【题目】已知:矩形,点
在
的延长线上,连接
,
,且
,
的平分线
交
于点
.
(1)如图1,求的大小;
(2)如图2,过点作
交
的延长线于点
,求证:
;
(3)如图3,在(2)的条件下,交
于点
,点
为
的中点,连接
交
于点
,点
在
上,且
,连接
,且
.延长
交
于点
,连接
,若
的周长与
的周长的差为2,求
的长.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.
(1)用尺规在边BC上求作一点P,使PA=PB(不写作法,保留作图痕迹);
(2)连接AP,若AP平分∠CAB,求∠B的度数.
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【题目】某贮水塔在工作期间,每小时的进水量和出水量都是固定不变的.从凌晨4点到早8点只进水不出水,8点到12点既进水又出水,14点到次日凌晨只出水不进水.下图是某日水塔中贮水量y(立方米)与x(时)的函数图象.
(1)求每小时的进水量;
(2)当8≤x≤12时,求y与x之间的函数关系式;
(3)从该日凌晨4点到次日凌晨,当水塔中的贮水量不小于28立方米时,直接写出x的取值范围.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,过对角线BD的中点O的直线分别交AB、CD于点E、F,连接DE,BF.
(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;
(2)当四边形BEDF是菱形时,求EF的长.
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【题目】如图,已知顶点为(﹣3,﹣6)的抛物线y=ax2+bx+c经过点(﹣1,﹣4),则下列结论中错误的是( )
A. b2>4ac
B. ax2+bx+c≥﹣6
C. 若点(﹣2,m),(﹣5,n)在抛物线上,则m>n
D. 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1
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【题目】定义:直线与直线
互为“友好直线”,如:直线
与
互为“友好直线”.
(1)点在直线
的“友好直线”上,则
________.
(2)直线上的点
又是它的“友好直线”上的点,求点
的坐标;
(3)对于直线上的任意一点
,都有点
在它的“友好直线”上,求直线
的解析式.
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【题目】如图,BD,CE分别是△ABC的两边上的高,过D作DG⊥BC于G,分别交CE及BA的延长线于F,H,求证:
(1)DG2=BG·CG;
(2)BG·CG=GF·GH.
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【题目】下列说法不正确的是( )
A. 某种彩票中奖的概率是,买1000张该种彩票一定会中奖
B. 了解一批电视机的使用寿命适合用抽样调查
C. 若甲组数据的标准差S甲=0.31,乙组数据的标准差S乙=0.25,则乙组数据比甲组数据稳定
D. 在一个装有白球和绿球的袋中摸球,摸出黑球是不可能事件
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