Question

【题目】类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．

（1）如图 1，在四边形 ABCD 中，添加一个条件使得四边形 ABCD 是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．

（2）小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形．她的猜想正确吗？请说明理由．

（3）如图 2，小红作了一个Rt△ABC，其中∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，并将 Rt△ABC 沿∠ABC 的平分线 BB′方向平移得到△A′B′C′，连结 AA′， BC′．小红要使得平移后的四边形 ABC′A′是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段 B′B 的长）？

Answer 1

【答案】（1）AB＝BC 或 BC＝CD 或 CD＝AD 或 AD＝AB；（2）解：小红的结论正确，理由详见解析；（3）平移 2 或 或 或．

【解析】

（1）由“等邻边四边形”的定义易得出结论；

（2）①先利用平行四边形的判定定理得平行四边形，再利用“等邻边四边形”定义得邻边相等，得出结论；

②由平移的性质易得BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=5，再利用“等邻边四边形”定义分类讨论，由勾股定理得出结论；

（3）由旋转的性质可得△ABF≌△ADC，由全等性质得∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，利用相似三角形判定得△ACF∽△ABD，由相似的性质和四边形内角和得∠CBF=90°，利用勾股定理，等量代换得出结论．

（1）解：AB＝BC 或 BC＝CD 或 CD＝AD 或 AD＝AB

（2）解：小红的结论正确．

理由如下：∵四边形的对角线互相平分，

∴这个四边形是平行四边形，

∵四边形是“等邻边四边形”，

∴这个四边形有一组邻边相等，

∴这个“等邻边四边形”是菱形，

（3）解：由∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，得：AC＝ ，

∵将 Rt△ABC 平移得到 Rt△A′B′C′，

∴BA′＝AA′，A′B′∥AB，A′B′＝AB＝2，B′C′＝BC＝1，A′C′＝AC＝，

①如图 1，当 AA′＝AB 时，BB′＝AA′＝AB＝2，

②如图 2，当 AA′＝A′C′时，BB′＝AA′＝AC′＝，

③当 AC′＝BC′＝时，如图 3，延长 C′B′交 AB 于点 D，则 C′B′⊥AB

∵BB′平分∠ABC，

∴∠ABB′＝ ∠ABC＝45°

∴∠BB′D＝∠ABB′＝45°，

∴B′D＝BD，

设 B′D＝BD＝x，则 C′D＝x+1，BB′＝x

∵根据在 Rt△BC′D 中，BC′2＝C′D2+BD2 即 x2+（x+1）2＝5

解得：x＝1 或 x＝﹣2（不合题意，舍去）

∴BB′＝

④当BC′＝AB＝2 时，如图4，与（III）方法同理可得：（舍去）

∴ .

故应平移 2 或或或．