Question

6．如图，已知，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB边上，过点E作EF⊥BC，延长FE交⊙O的切线AG于点G．
（1）求证：GA=GE．
（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求线段OE的长．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据勾股定理求得BC=10，然后根据△BEF∽△BCA．对应边成比例求得EF=1.8，BF=2.4，进而求得OF=2.6，应用勾股定理求得即可．

解答 （1）证明：连接OA，
∵AG切⊙O点A，
∴∠GAO=90°，
∴∠BAO+∠GAE=90°，
∵EF⊥BC，
∴∠ABO+∠BEF=90°，
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO，
∴∠GAE=∠BEF，
∵∠BEF=∠GEA，
∴∠GEA=∠GAE，
∴GA=GE；

（2）解：∵BC为直径，
∴∠BAC=90°，AC=6，AB=8，
∴BC=10，
∵∠EBF=∠CBA，∠BFE=∠BAC，
∴△BEF∽△BCA，
∴$\frac{BF}{BA}=\frac{BE}{BC}=\frac{EF}{AC}$，
∴EF=$\frac{9}{5}$，BF=$\frac{12}{5}$，
∴OF=OB-BF=5-$\frac{12}{5}$=$\frac{13}{5}$，
∴OE=$\sqrt{{EF}^{2}{+OF}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质等，熟练掌握性质定理是解题的关键．