Question

11．已知，如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一
动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF，当点D在线段BC的反向延长线上，且点A，F分别在直线BC的两侧时．
（1）求证：△ABD≌△ACF；
（2）若正方形ADEF的边长为2$\sqrt{2}$，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．
求OC的长度．

Answer 1

分析 （1）△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△ABD≌△ACF；
（2）首先证明△BAD≌△CAF，△FCD是直角三角形，然后根据正方形的性质即可求得DF的长，由直角三角形斜边上的中线性质求出OC即可．

解答 （1）证明：∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAF=90°-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠BAD=∠CAF}&{\;}\\{AD=AF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
（2）解：∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°-∠BAF，∠CAF=90°-∠BAF，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠BAD=∠CAF}&{\;}\\{AD=AF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABD=135°，
∴∠ACF=∠ABD=135°，
∴∠FCD=90°，
∴△FCD是直角三角形．
∵正方形ADEF的边长为2$\sqrt{2}$，且对角线AE、DF相交于点O．
∴DF=$\sqrt{2}$AD=4，O为DF中点．
∴OC=$\frac{1}{2}$DF=2．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质；证明三角形全等是解决问题的关键．