Question

13．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，BC=8，AB=4$\sqrt{3}$．点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BC运动到点C；点Q从点M出发以每秒1个单位的速度在射线NC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作一个等边三角形EPQ，使△EPQ与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P到达点C时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q是运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当BP=2时，写出PQ的长．
（2）当△EPQ的顶点E在AD边上时，求出t的取值范围．
（3）是否存在t的值，使得△EPQ的边经过CD的中点O？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）分类讨论：当点P从M点向B点运动时，BM=$\frac{1}{2}$BC=4，由BP=2得PM=2，利用速度公式得1•t=2，解得t=2，则MQ=2，所以此时PQ=PM+QM=4；当点P从B点向M点运动时，由BP=2得PM=2，则1•t=2+4，解得t=6，所以MQ=6，于是得到PQ=PM+QM=8；
（2）过M点作MN⊥AD于N，如图1，则MN=AB=4$\sqrt{3}$，由于MB=MC=4，可计算出NB=NC=8，于是可判断△NBC为等边三角形，若点P运动到B点，Q点运动到C点时，点E在N点处，此时t=4，
当点P从B点向C点运动时，如图2，作EH⊥BC于H，则BP=t-4，MQ=4，PM=8-t，则可计算出PQ=8，由于△EPQ为等边三角形，则可计算出EH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PQ=4$\sqrt{3}$，于是判断点E在直线AD上，由于DN=AD-AN=2，于是可判断当4≤t≤6时，点E在线段ND上；
（3）分类讨论：当边EQ经过经过CD的中点O时，如图3，通过证明△ODE≌△OCQ得到DE=CQ，由于P点在B点时，E点在N点，则EN=BP=t-4，DE=6-t，CQ=6-t，所以4+6-t=t，解得t=5；当边EP经过经过CD的中点O时，如图4，同理可得PC=DE，易得DE=NE-ND=t-6，PC=12-t，则t-6=12-t，解得t=9．

解答 解：（1）当点P从M点向B点运动时，BM=$\frac{1}{2}$BC=4，
∵BP=2，
∴PM=4-2=2，即1•t=2，解得t=2，
∴MQ=2×1=2，
∴PQ=PM+QM=2+2=4；
当点P从B点向M点运动时，BM=4，
∵BP=2，PM=2，
∴1•t=2+4，解得t=6，
∴MQ=6×1=6，
∴PQ=PM+QM=2+6=8；
即PQ的长为4或8；
（2）过M点作MN⊥AD于N，如图1，则MN=AB=4$\sqrt{3}$，
∵MB=MC=4，
∴NB=NC=8，
∴△NBC为等边三角形，
∴点P运动到B点，Q点运动到C点时，点E在N点处，此时t=4，
当点P从B点向C点运动时，如图2，作EH⊥BC于H，则BP=t-4，MQ=4，
∴PM=4-（t-4）=8-t，
∴PQ=8-t+t=8，
∵△EPQ为等边三角形，
∴EH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PQ=4$\sqrt{3}$，
∴点E在直线AD上，
∵AN=BM=4，
∴DN=AD-AN=6-4=2，
∴当4≤t≤6时，点E在线段ND上，
即△EPQ的顶点E在AD边上；
（3）存在．
当边EQ经过经过CD的中点O时，如图3，
∵DE∥CQ，
∴∠D=∠QCO，
在△ODE和△OCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠QCO}\\{OD=OC}\\{∠DOE=∠COQ}\end{array}\right.$，
∴△ODE≌△OCQ，
∴DE=CQ，
∵BP=t-4，
而P点在B点时，E点在N点，
∴EN=BP=t-4，
∴DE=2-（t-4）=6-t，
∴CQ=6-t，
而MC=4，MQ=t，
∴4+6-t=t，解得t=5；
当边EP经过经过CD的中点O时，如图4，
同理可得PC=DE，
∵DE=NE-ND=t-4-2=t-6，
而PC=8-（t-6）=12-t，
∴t-6=12-t，解得t=9，
综上所述，当t=5s或9s时，△EPQ的边经过CD的中点．

点评 本题考查了四边形综合题：熟练掌握梯形和矩形的性质和等边三角形的性质；会利用代数式法解决有关动点问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．