【题目】已知在关于x的分式方程 ①和一元二次方程(2﹣k)x2+3mx+(3﹣k)n=0②中,k、m、n均为实数,方程①的根为非负数.
(1)求k的取值范围;
(2)当方程②有两个整数根x1、x2,k为整数,且k=m+2,n=1时,求方程②的整数根;
(3)当方程②有两个实数根x1、x2,满足x1(x1﹣k)+x2(x2﹣k)=(x1﹣k)(x2﹣k),且k为负整数时,试判断|m|≤2是否成立?请说明理由.
【答案】(1) k≥﹣1且k≠1且k≠2;(2) x1=0,x2=3;(3)成立
【解析】试题分析:(1)先解出分式方程①的解,根据分式的意义和方程①的根为非负数得出k的取值;(2)先把k=m+2,n=1代入方程②化简,由方程②有两个整数实根得△是完全平方数,列等式得出关于m的等式,由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m=1和﹣1,分别代入方程后解出即可;(3)根据(1)中k的取值和k为负整数得出k=﹣1,化简已知所给的等式,并将两根和与积代入计算求出m的值,做出判断.
试题解析:(1)∵关于x的分式方程的根为非负数, ∴x≥0且x≠1,
又∵x=≥0,且≠1, ∴解得k≥﹣1且k≠1,
又∵一元二次方程(2﹣k)x2+3mx+(3﹣k)n=0中2﹣k≠0, ∴k≠2,
综上可得:k≥﹣1且k≠1且k≠2;
(2)∵一元二次方程(2﹣k)x2+3mx+(3﹣k)n=0有两个整数根x1、x2,且k=m+2,n=1时,
∴把k=m+2,n=1代入原方程得:﹣mx2+3mx+(1﹣m)=0,即:mx2﹣3mx+m﹣1=0,
∴△≥0,即△=(﹣3m)2﹣4m(m﹣1),且m≠0, ∴△=9m2﹣4m(m﹣1)=m(5m+4),
∵x1、x2是整数,k、m都是整数, ∵x1+x2=3,x1x2==1﹣, ∴1﹣为整数,
∴m=1或﹣1, ∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得:x2﹣3x+1﹣1=0, x2﹣3x=0,
x(x﹣3)=0, x1=0,x2=3;
把m=﹣1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得:﹣x2+3x﹣2=0, x2﹣3x+2=0, (x﹣1)(x﹣2)=0, x1=1,x2=2;
(3)|m|≤2不成立,理由是:
由(1)知:k≥﹣1且k≠1且k≠2, ∵k是负整数, ∴k=﹣1,
(2﹣k)x2+3mx+(3﹣k)n=0且方程有两个实数根x1、x2,
∴x1+x2=﹣==﹣m,x1x2==,
x1(x1﹣k)+x2(x2﹣k)=(x1﹣k)(x2﹣k), x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2,
x12+x22═x1x2+k2, (x1+x2)2﹣2x1x2﹣x1x2=k2, (x1+x2)2﹣3x1x2=k2,
(﹣m)2﹣3×=(﹣1)2, m2﹣4=1, m2=5, m=±, ∴|m|≤2不成立.
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【题目】定义运算:ab=a(1﹣b).若a,b是方程x2﹣x+m=0(m<0)的两根,则bb﹣aa的值为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 与m有关
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【题目】已知在关于x的分式方程 ①和一元二次方程(2﹣k)x2+3mx+(3﹣k)n=0②中,k、m、n均为实数,方程①的根为非负数.
(1)求k的取值范围;
(2)当方程②有两个整数根x1、x2,k为整数,且k=m+2,n=1时,求方程②的整数根;
(3)当方程②有两个实数根x1、x2,满足x1(x1﹣k)+x2(x2﹣k)=(x1﹣k)(x2﹣k),且k为负整数时,试判断|m|≤2是否成立?请说明理由.
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A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
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【题目】已知一元二次方程mx2-2mx+m-2=0.
(1)若方程有两个不等实数根,求m的取值范围;
(2)若方程的两实数根为x1,x2,且|x1-x2|=1,求m的值.
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