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【题目】已知在关于x的分式方程 ①和一元二次方程(2﹣k)x2+3mx+(3﹣k)n=0②中,k、m、n均为实数,方程①的根为非负数.

(1)求k的取值范围;

(2)当方程②有两个整数根x1、x2,k为整数,且k=m+2,n=1时,求方程②的整数根;

(3)当方程②有两个实数根x1、x2,满足x1(x1﹣k)+x2(x2﹣k)=(x1﹣k)(x2﹣k),且k为负整数时,试判断|m|≤2是否成立?请说明理由.

【答案】(1) k≥﹣1且k≠1且k≠2;(2) x1=0,x2=3;(3)成立

【解析】试题分析:(1)先解出分式方程的解,根据分式的意义和方程的根为非负数得出k的取值;(2)先把k=m+2n=1代入方程化简,由方程有两个整数实根得是完全平方数,列等式得出关于m的等式,由根与系数的关系和两个整数根x1x2得出m=1﹣1,分别代入方程后解出即可;(3)根据(1)中k的取值和k为负整数得出k=﹣1,化简已知所给的等式,并将两根和与积代入计算求出m的值,做出判断.

试题解析:(1关于x的分式方程的根为非负数, ∴x≥0x≠1

∵x=≥0,且≠1解得k≥﹣1k≠1

一元二次方程(2﹣kx2+3mx+3﹣kn=02﹣k≠0∴k≠2

综上可得:k≥﹣1k≠1k≠2

2一元二次方程(2﹣kx2+3mx+3﹣kn=0有两个整数根x1x2,且k=m+2n=1时,

k=m+2n=1代入原方程得:﹣mx2+3mx+1﹣m=0,即:mx2﹣3mx+m﹣1=0

∴△≥0,即△=﹣3m2﹣4mm﹣1),且m≠0∴△=9m2﹣4mm﹣1=m5m+4),

∵x1x2是整数,km都是整数, ∵x1+x2=3x1x2==1﹣∴1﹣为整数,

∴m=1﹣1m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得:x2﹣3x+1﹣1=0x2﹣3x=0

xx﹣3=0x1=0x2=3

m=﹣1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得:﹣x2+3x﹣2=0x2﹣3x+2=0, (x﹣1)(x﹣2=0x1=1x2=2

3|m|≤2不成立,理由是:

由(1)知:k≥﹣1k≠1k≠2∵k是负整数, ∴k=﹣1

2﹣kx2+3mx+3﹣kn=0且方程有两个实数根x1x2

∴x1+x2=﹣==﹣mx1x2==

x1x1﹣k+x2x2﹣k=x1﹣k)(x2﹣k), x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2

x12+x22═x1x2+k2, (x1+x22﹣2x1x2﹣x1x2=k2, (x1+x22﹣3x1x2=k2

﹣m2﹣3×=﹣12m2﹣4=1m2=5m=±∴|m|≤2不成立.

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